ФМЛ №30 из 7 в 8 класс 2012 год

ЛИЦЕЙ №30 (СПБ)

2012 год

Вариант 1

1. Разложите на множит если:
   1. $x^{3}-8 x^{2}+19 x-12$
   2. $-12 a^{2} p+15 p^{3}+8 a^{4}-10 a^{2} p^{2}$
   3. $x(x+z-y)+y(y-x-z)+(x-y+z)$
   4. Найдите наименьшее значение выражения $$ (2 a-1)(2 a+1)+3 b(3 b-4 a) $$
2. Вычислите:
   1. $\frac{4^{4} \cdot\left(\left(3^{3}\right)^{2}: 3^{2}\right)}{27^{3}: 3^{5}}$
   2. $\frac{(7,26)^{3}-(2,74)^{3}}{4,52}+7,26 \cdot 2,74$
   3. $\left(3 \frac{7}{12}+4 \frac{7}{12}:\left(2 \frac{1}{3}-5 \frac{1}{12}\right)\right):\left(3,25: 5 \frac{7}{22}-8 \frac{5}{18}\right)$
   4. $\frac{4 a-5 b}{3 a+b}$, если известно, что $\frac{4 b+a}{5 a-7 b}=2$
3. 1. Сократите дробь: $\frac{x^{3}-x^{2} y}{x y-x^{2}-y+x}$
   2. Упростите выражение: $\left(\frac{1}{x+2}+\frac{5}{x^{2}-x-6}+\frac{2 x}{x-3}\right): \frac{2 x+1}{x}-\frac{x-9}{2(x-3)}$
   3. Упростите выражение и укажите при каких $x$ оно определено: $\left(\frac{x}{x^{2}+2 x+4}+\frac{x^{2}+8}{x^{3}-8}+\frac{1}{x-2}\right) \cdot\left(\frac{x^{2}}{x^{2}-4}-\frac{2}{2-x}\right)$
   4. Найдите $x$ из пропорции: $$ \frac{9-4 a^{2}-4 a b-b^{2}}{4 a^{2}+2 a b+3 b-9}=\frac{3+2 a+b}{x} $$
4. Решите уравнение (систему):
   1. $\frac{3 x-1}{7}-\frac{2 x+1}{2}=\frac{x}{14}-1$
   2. $\frac{7}{x-2}=3+\frac{x^{3}+27}{(x+3)(x-2)}$
   3. $\frac{x^{2}-4 x-8}{5 x-x^{2}}=\frac{x^{2}-3 x-7}{x(x-5)}$
   4. $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}+\frac{9}{y-1}=-2 \\ \frac{4}{x}-\frac{3}{y-1}=3\end{array}\right.$
5. 1. Постройте график функции $y=\left(x^{2}-4\right)\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)-x$
   2. Постройте график функции $y=\frac{|x|}{x}\left(-\frac{1}{2} x+2\right)$
   3. Постройте график уравнения $\frac{\left(y^{2}-4\right)(y+2 x-1)}{x-1}=0$
   4. Задайте а) графически и б) аналитически функцию, которая при $x$ таких, что $0<x<1$, принимает все значения $y$ такие, что $0 \leqslant y \leqslant 1$, и не принимает других значений.
6. 1. В треугольнике $A B C A B=B C, \angle C=72^{\circ}, A P-$ биссектриса, $P K \| A B, P K$ пересекает сторону $A C$ в точке $K$. Найдите $\angle K P A$.
   2. В треугольнике $A B C$ биссектрисы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ пересекаются в точке $M$, при этом $\angle A M B=120^{\circ}$. Найдите $\angle C$.
   3. В треугольнике $A B C A B=B C, A C=8$, точка $E$ лежит на стороне $B C$, причем $B E=E C .$ Точка $E$ делит периметр треугольника $A B C$ (считая от вершины $A$ ) на две части, из которых одна больше другой на 2. Найдите $A B$.
   4. Как с помощью циркуля и линейки разделить угол в $54^{\circ}$ на три равные части?
7. 1. Является ли число $3^{4^{5}}$ точным квадратом?
   2. Найдите наименьшее натуральное число, большее 2 , остатки от деления которого на 3 и на 23 равны 2.
   3. Сравните $633^{3^{72}}$ и $632^{4^{54}}$.
   4. При каких натуральных $n$ дробь $\frac{4 n-23}{n-2}$ является натуральным числом?
8. 1. Найдите все значениях параметра $a$, при которых график следующей функции проходит через начало координат. $$ y=\frac{5 a}{a-5} \cdot\left(x^{2}-1\right)+\frac{a^{2}}{a-5} $$
   2. Найдите все значения параметра $b$, при которых точка графика следующей функции с абсциссой $-\frac{4}{3}$ лежит на оси абсцисс. $$ y=\frac{x-b}{3 x+1}+b x $$
   3. Найдите все значения парамет ра $a$, при которых уравнения $6 x+1=0$ и $2 x-a=0$ имеют общие корни.
   4. Для каждого значения парамет ра $a$ реш ите уравнение: $$ a^{2}\left(1-\frac{1}{x}\right)-a\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{a-3}{x} $$
9. 1. Три бригады вспахали два поля общей площадью 96 га. Первое поле было вспахано за 3 дня, причем работали все вместе. Второе поле вспахали за 6 дней вторая и третья бригады. Если бы все три бригады проработали на втором поле 1 день, то оставшаяся часть второго поля первая бригада могла бы вспахать за 8 дней. Сколько гектаров в день может вспахать первая бригада?
   2. Карлсон съедает банку варенья за 10 минут, Фрекен Бок - за 12 минут, а Малыш - за 15 минут. За сколько минут они съедят банку варенья втроем?
   3. Смешали 7 литров $16 \%$-го раствора некоторого вещества с 3 литрами $6 \%$-го раствора этого же вещест ва. Найдите концент рацию полученного раствора.
   4. Два поезда выехали одновременно в одном направлени и из городов $A$ и $B$, которые расположены на расстоянии 60 км друг от друга, и одновременно прибыли на станцию $C .$ Если бы один из поездов увеличил скорость на 25 км/ч, а другой на 20 км/ч, то они прибыли бы в $C$ также одновременно, но на два часа раньше. Найдите скорост и поездов.
10. 1. Разделите число 80 на две части так, чтобы одна часть составляла $60 \%$ другой части.
    2. Дан прямоугольник $3 \times 4$ клетки. Можно ли расставить числа 3 и $-3$ в его клетки так, чтобы все 7 сумм (по строкам и по столбцам) были различны?
    3. Укажите какое-либо целое число $b$ такое, что число $b^{2}+3 b+2004$ является точным квадратом.
    4. Расположите 6 точек на 4 отрезках, не лежащих на одной прямой, так, чтобы каждому отрезку принадлежало ровно 3 точки.

Ответы:
I
1. (x-4)(x-1)(x-3) 2. $(2a^2-3p)(4a^2-5p^2)$ 3. (x+y-y)(x-y+1) 4. -1
II
1. 256 2. 100 3. -0.25 4. 3/7
III
1. $z^2/(1-x)$ 2. (x+9)/(2x-6) 4. -2a-3
IV
1. 5/9
V
1. x+-2
VI
1. 36
IX
1. 4
X
1. 50; 30 2. да 4. 6

Решения задач

1. 1. Разложите на множители: $x^{3}-8 x^{2}+19 x-12$
      Решение: Подбором находим корень $x=1$. Делим многочлен на $(x-1)$:
      $(x-1)(x^2-7x+12) = (x-1)(x-3)(x-4)$
      Ответ: $(x-1)(x-3)(x-4)$.
   2. Разложите на множители: $-12 a^{2} p+15 p^{3}+8 a^{4}-10 a^{2} p^{2}$
      Решение: Группируем слагаемые:
      $(8a^4 -12a^2p) + (15p^3 -10a^2p^2) = 4a^2(2a^2 -3p) + 5p^2(3p -2a^2)$
      Выносим общий множитель: $(2a^2 -3p)(4a^2 -5p^2)$
      Ответ: $(2a^2 -3p)(4a^2 -5p^2)$.
   3. Разложите на множители: $x(x+z-y)+y(y-x-z)+(x-y+z)$
      Решение: Раскрываем скобки и группируем:
      $x^2 + xz -xy + y^2 -xy -yz +x -y +z = (x - y + z)(x +1)$
      Ответ: $(x - y + z)(x +1)$.
   4. Найдите наименьшее значение выражения $(2a-1)(2a+1)+3b(3b-4a)$
      Решение: Преобразуем выражение:
      $4a^2 -1 +9b^2 -12ab = (2a -3b)^2 -1$
      Минимум достигается при $(2a -3b)^2 =0$, тогда значение $-1$.
      Ответ: $-1$.
2. 1. Вычислите: $\frac{4^{4} \cdot\left(\left(3^{3}\right)^{2}: 3^{2}\right)}{27^{3}: 3^{5}}$
      Решение: Упрощаем степени:
      $\frac{256 \cdot 3^4}{3^4} = 256$
      Ответ: $256$.
   2. Вычислите: $\frac{(7,26)^{3}-(2,74)^{3}}{4,52}+7,26 \cdot 2,74$
      Решение: Используем формулу разности кубов:
      $\frac{(7,26 -2,74)(7,26^2 +7,26 \cdot2,74 +2,74^2)}{4,52} +7,26 \cdot2,74 = (7,26 +2,74)^2 =10^2=100$
      Ответ: $100$.
   3. Вычислите: $\left(3 \frac{7}{12}+4 \frac{7}{12}:\left(2 \frac{1}{3}-5 \frac{1}{12}\right)\right):\left(3,25: 5 \frac{7}{22}-8 \frac{5}{18}\right)$
      Решение: Переводим в дроби и вычисляем:
      $\left(\frac{43}{12} + \frac{55}{12} : \left(-\frac{11}{4}\right)\right) : \left(\frac{13}{4} : \frac{117}{22} - \frac{149}{18}\right) = \left(\frac{23}{12}\right) : \left(-\frac{905}{234}\right) = -0,25$
      Ответ: $-0,25$.
   4. Вычислите: $\frac{4a-5b}{3a+b}$, если $\frac{4b+a}{5a-7b}=2$
      Решение: Решаем уравнение $\frac{4b+a}{5a-7b}=2$:
      $4b +a =10a -14b \Rightarrow 18b=9a \Rightarrow a=2b$
      Подставляем в выражение: $\frac{4 \cdot2b -5b}{3 \cdot2b +b} = \frac{3b}{7b} = \frac{3}{7}$
      Ответ: $\frac{3}{7}$.
3. 1. Сократите дробь: $\frac{x^{3}-x^{2} y}{x y-x^{2}-y+x}$
      Решение: Разложим числитель и знаменатель:
      $\frac{x^2(x - y)}{(x -1)(y -x)} = \frac{x^2}{1 -x}$
      Ответ: $\frac{x^2}{1 -x}$.
   2. Упростите выражение: $\left(\frac{1}{x+2}+\frac{5}{x^{2}-x-6}+\frac{2x}{x-3}\right): \frac{2x+1}{x}-\frac{x-9}{2(x-3)}$
      Решение: Общий знаменатель $(x+2)(x-3)$:
      $\frac{(x-3) +5 +2x(x+2)}{(x+2)(x-3)} : \frac{2x+1}{x} - \frac{x-9}{2(x-3)} = \frac{(2x+1)(x+2)}{(x+2)(x-3)} \cdot \frac{x}{2x+1} - \frac{x-9}{2(x-3)} = \frac{x}{x-3} - \frac{x-9}{2(x-3)} = \frac{x+9}{2(x-3)}$
      Ответ: $\frac{x+9}{2(x-3)}$.
   3. Найдите $x$ из пропорции: $\frac{9-4a^{2}-4ab-b^{2}}{4a^{2}+2ab+3b-9}=\frac{3+2a+b}{x}$
      Решение: Числитель слева: $9 - (2a +b)^2 = (3 -2a -b)(3 +2a +b)$
      Знаменатель: $4a^2 +2ab +3b -9 = (2a +b)^2 -9 +3b -2ab$
      После сокращения получаем $x = -2a -3$
      Ответ: $-2a -3$.
4. Решите уравнение (систему):
   1. $\frac{3x-1}{7}-\frac{2x+1}{2}=\frac{x}{14}-1$
      Решение: Умножаем на 14:
      $2(3x -1) -7(2x +1) =x -14 \Rightarrow -8x -9 =x -14 \Rightarrow x = \frac{5}{9}$
      Ответ: $\frac{5}{9}$.
   2. $\frac{7}{x-2}=3+\frac{x^{3}+27}{(x+3)(x-2)}$
      Решение: Используем разность кубов:
      $\frac{7}{x-2} =3 + \frac{(x+3)(x^2 -3x +9)}{(x+3)(x-2)} \Rightarrow \frac{7 -3(x-2) - (x^2 -3x +9)}{x-2} =0 \Rightarrow x = -2$
      Ответ: $-2$.
   3. $\frac{x^{2}-4x-8}{5x-x^{2}}=\frac{x^{2}-3x-7}{x(x-5)}$
      Решение: Упрощаем знаменатели:
      $-\frac{x^2 -4x -8}{x(x-5)} = \frac{x^2 -3x -7}{x(x-5)} \Rightarrow -x^2 +4x +8 =x^2 -3x -7 \Rightarrow x = -1,5$
      Ответ: $-1,5$.
   4. $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}+\frac{9}{y-1}=-2 \\ \frac{4}{x}-\frac{3}{y-1}=3\end{array}\right.$
      Решение: Замена $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y-1}$:
      $\begin{cases}2u +9v = -2 \\4u -3v =3\end{cases} \Rightarrow v = -\frac{1}{3}, u = \frac{1}{2} \Rightarrow x=2, y=-2$
      Ответ: $(2; -2)$.
5. 1. Постройте график функции $y=\left(x^{2}-4\right)\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)-x$
      Решение: Упрощаем выражение:
      $y = (x^2 -4) \cdot \frac{4}{x^2 -4} -x =4 -x$ при $x \neq \pm2$
      Ответ: Прямая $y=4 -x$ с выколотыми точками $x=2$ и $x=-2$.
   2. Постройте график функции $y=\frac{|x|}{x}\left(-\frac{1}{2}x+2\right)$
      Решение: При $x>0$: $y = -\frac{1}{2}x +2$; при $x<0$: $y = \frac{1}{2}x -2$
      Ответ: Две прямые с разрывом в $x=0$.
6. 1. В треугольнике $ABC$ $AB=BC$, $\angle C=72^{\circ}$, $AP$ — биссектриса, $PK \parallel AB$. Найдите $\angle KPA$
      Решение: $\angle KPA = 36^{\circ}$ (используя свойства параллельных и равнобедренного треугольника).
      Ответ: $36^{\circ}$.
   2. В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $M$, $\angle AMB=120^{\circ}$. Найдите $\angle C$
      Решение: $\angle C =60^{\circ}$ (по формуле угла между биссектрисами).
      Ответ: $60^{\circ}$.
7. 1. Является ли число $3^{4^{5}}$ точным квадратом?
      Решение: Да, так как $4^5$ — чётное число.
      Ответ: Да.
   2. Найдите наименьшее натуральное число, большее 2, остатки от деления которого на 3 и на 23 равны 2.
      Решение: Решаем систему $n \equiv2 \pmod{3}$ и $n \equiv2 \pmod{23}$. Наименьшее $n=71$.
      Ответ: $71$.
8. 1. Найдите все значения параметра $a$, при которых график функции проходит через начало координат.
      Решение: Подставляем $(0,0)$: $0 = \frac{5a}{a-5}(-1) + \frac{a^2}{a-5} \Rightarrow a=0$
      Ответ: $a=0$.
   2. Найдите все значения параметра $b$, при которых точка графика функции с абсциссой $-\frac{4}{3}$ лежит на оси абсцисс.
      Решение: Подставляем $x=-\frac{4}{3}$ и $y=0$: $b=\frac{4}{9}$
      Ответ: $b=\frac{4}{9}$.
9. 1. Карлсон съедает банку варенья за 10 минут, Фрекен Бок — за 12 минут, Малыш — за 15 минут. За сколько минут они съедят банку втроем?
      Решение: Совместная скорость: $\frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{1}{4}$. Время: $4$ минуты.
      Ответ: $4$ минуты.
   2. Смешали 7 литров $16\%$-го раствора с 3 литрами $6\%$-го раствора. Найдите концентрацию.
      Решение: Концентрация: $\frac{7 \cdot0,16 +3 \cdot0,06}{10} =13\%$
      Ответ: $13\%$.
10. 1. Разделите число 80 на две части так, чтобы одна часть составляла $60\%$ другой.
       Решение: $x +0,6x=80 \Rightarrow x=50$, вторая часть $30$.
       Ответ: $50$ и $30$.
    2. Укажите целое число $b$ такое, что $b^2 +3b +2004$ — точный квадрат.
       Решение: Подбором находим $b=42$: $42^2 +3\cdot42 +2004=2025=45^2$
       Ответ: $42$.