8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМЛ №30 из 8 в 9 класс 2020 год

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2020
Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2020
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №30 (СПБ)


2020 год


Вариант 2



В каждой задаче требуется не только указать ответ, но и привести решение. Задания пунктов а) и б) не всегда связаны друг с другом, но если да – можно и нужно пользоваться результатами одного для решения другого. Каждый пункт оценивается из 3х баллов. Помните, что не все предлагаемые задачи необходимо решить. Мы специально включили в работу много задач, чтобы у каждого из вас была возможность выбрать те из них, которые кажутся вам доступными.


    1. Разложите на множители выражение $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}$;
    2. найдите все тройки натуральных чисел $(x ; y ; z)$, для которых $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}=7 .$
    1. Решите уравнение $x^{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{5}) x+\sqrt{15}=0$.
    2. Какой из корней этого уравнения ближе к числу $2 ?$
    1. Напишите уравнение квадратичной функции, график которой проходит через точку $C(-1 ; 3)$ и пересекает ось ОX в точках с абсциссами 1 и $-2 .$
    2. Лежат ли точки $A(1 ; 1), B(2 ; 4)$ и $C(3 ; 13)$ на графике одной квадратичной функции?
  4. Найдите площадь параллелограмма $A B C D$, в котором угол А равен $60^{\circ}$, а биссектриса $A E$ делит сторону $B C$ на отрезки $B E=1$ и $E C=3$.
  5. В треугольнике $A B C$ проведена высота $C H .$ Известно, что $C H^{2}=A H \cdot H B$.
    1. Докажите, что если точка $H$ лежит на отрезке $A B$, то треугольник $A B C$ прямоугольный.
    2. Возможно ли такое соотношение в случае, если $H$ не лежит на отрезке $A B ?$ Если да приведите пример, если нет - докажите, почему.
  6. Решите неравенства:
    1. $2|x+1| \geq x+2$;
    2. $\frac{2|x+1|}{x+2} \geq 1$.
  7. При каких значениях параметра $a$ неравенство $2|x+1| \geq x-a$ выполнено при всех значениях $x$?
    1. Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения $|b-2 a|$, если $-2 \leq a \leq 1 \quad$ и $\quad 1 \leq b \leq 5$.
    2. Найдите наименьшее значение выражения $x^{2}+y^{2}$, если $y-x=2$.
    1. Покажите, что данные числа являются квадратами натуральных чисел: $a=1+5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 ; \quad b=1+6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 ; c=1+10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$.
    2. Обобщите имеющуюся закономерность и докажите ее.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №30 (СПБ)


2020 год


Вариант 2




  1. а) Разложите на множители выражение $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}$;
    б) найдите все тройки натуральных чисел $(x ; y ; z)$, для которых $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}=7$

    a) $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}=(x+y)^{2}-z^{2}=(x+y+z)(x+y-z)$;
    б) Поскольку z натуральное число, то $x+y+z>x+y-z$ и следовательно $\left\{\begin{array}{c}x+y+z=7 \\ x+y-z=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}2(x+y)=8 \\ 2 z=6\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x+y=4 \\ z=3\end{array} .\right.\right.\right.$
    Ответ: $(1 ; 3 ; 3),(2 ; 2 ; 3)$ и $(3 ; 1 ; 3) .$

  2. а) Решите уравнение $x^{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{5}) x+\sqrt{15}=0$.
    б) Какой из корней этого уравнения ближе к числу $2 ?$

    а) По обратной теореме Виета корнями уравнения $x^{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{5}) x+\sqrt{15}=0$ являются числа $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5} .$
    б) Заметим, что $\sqrt{3}2$, а значит надо сравнить числа $2-\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}-2$. Составим неравенство $2-\sqrt{3}>\sqrt{5}-2$ и преобразуем его. $2-\sqrt{3}>\sqrt{5}-2 \Leftrightarrow \sqrt{5}+\sqrt{3}<4 \Leftrightarrow 8+2 \sqrt{15}<16 \Leftrightarrow 2 \sqrt{15}<8 \Leftrightarrow \sqrt{15}<4$, что верно.
    Значит $2-\sqrt{3}>\sqrt{5}-2$ и число $\sqrt{5}$ ближе к 2 , чем число $\sqrt{3}$.
    Ответ: $\sqrt{5}$

  3. а) Напишите уравнение квадратичной функции, график которой проходит через точку $C(-1 ; 3)$ и пересекает ось ОХ в точках сабсциссами 1 и $-2 .$
    б) Лежат ли точки $A(1 ; 1), B(2 ; 4)$ и $C(3 ; 13)$ на графике одной квадратичной функции?

    а) Поскольку числа 1 и -2 являются корнями функции $f$, то $f(x)=a(x-1)(x+2)$. Значение $a$ узнаем из условия $f(-1)=3$: $$ f(-1)=3 \Leftrightarrow a \cdot(-2) \cdot 1=3 \Leftrightarrow a=-\frac{3}{2} . $$ Ответ: $f(x)=-\frac{3}{2}(x-1)(x+2) .$\\ б) Да, лежат. Если $f(x)=a x^{2}+b x+c$, то $\left\{\begin{array}{c}f(1)=1 \\ f(2)=4 \\ f(3)=13\end{array}\right.$ $$ \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c } { a + b + c = 1 } \\ { 4 a + 2 b + c = 4 } \\ { 9 a + 3 b + c = 1 3 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { a + b + c = 1 } \\ { 3 a + b = 3 } \\ { 5 a + b = 9 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} a=3 \\ b=-6 \\ c=4 \end{array} \quad \text { Ответ: } \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\mathbf{3} \boldsymbol{x}^{2}-\mathbf{6} \boldsymbol{x}+\mathbf{4}\right.\right.\right. $$
  4. Найдите площадь параллелограмма $A B C D$, в котором угол А равен $60^{\circ}$, а биссектриса $A E$ делит сторону $B C$ на отрезки $B E=1$ и $E C=3 .$\\ $A D \| B C$ и $A E-$ биссектриса угла $\mathrm{A} \Rightarrow \angle B E A=\angle E A D=\angle B A E$, а значит треугольник $A B E$ равнобедренный и $A B=B E=1 .$ Если ВН - высота параллелограмма, то из прямоугольного треугольника $\mathrm{ABH}$ находим, что $B H=\frac{\sqrt{3}}{2} .$ Площадь равна $A D \cdot B H=(3+1) \frac{\sqrt{3}}{2}=2 \sqrt{3}$.\\ Ответ: $2 \sqrt{3} .$
  5. В треугольнике $A B C$ проведена высота $C H .$ Известно, что $C H^{2}=A H \cdot H B$.\\ а) Докажите, что если точка $H$ лежит на отрезке $A B$, то треугольник $A B C$ прямоугольный.\\ б) Возможно ли такое соотношение в случае, если $H$ не лежит на отрезке $A B$ ? Если да - приведите пример, если нет - докажите, почему.\\ \\ 5 a) $C H^{2}=A H \cdot H B \Leftrightarrow \frac{C H}{A H}=\frac{H B}{C H}$, а поскольку еще и $\angle A H C=\angle C H B=90^{\circ}$, то $\Delta A H C$ подобен $\Delta C H B$. Отсюда $\angle A C H=\angle C B H=90^{\circ}-\angle B C H$, а значит $\angle C=\angle A C H+\angle B C H=90^{\circ}$.\\ 5б) Да, возможно. Например, если взять прямоугольный треугольник $\mathrm{CHB}$ с катетами $\mathrm{CH}=$ 2 и $H B=4$ и на его катете $H B$ отметить точку $A$ так, что $A H=1$, то треугольник $A B C$ будет тупоугольным с высотой $C H$, и соотношение $C H^{2}=A H \cdot H B$ выполняется.
  6. Решите неравенства: а) $2|x+1| \geq x+2 ;$\\ б) $\frac{2|x+1|}{x+2} \geq 1$\\ \\ 6а) При $x \geq-12|x+1|=2 x+2$ и неравенство сводится к виду $2 x+2 \geq 2+x \Leftrightarrow x \geq 0, \quad$ что удовлетворяет условию $x \geq-1 .$ При $x<-1$ неравенство принимает вид $-2-2 x \geq 2+x \Leftrightarrow$ $x \leq-\frac{4}{3}$, что также выполняется в рассматриваемом случае.\\ Ответ: $\left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right] \cup[0 ;+\infty)$\\ 6б) Заметим, что при $x-2$ оно равносильно неравенству 6а), поскольку сводится к нему домножением на положительный знаменатель.\\ Ответ: $\left(-2 ;-\frac{4}{3}\right] \cup[0 ;+\infty)$
  7. При каких значениях параметра $a$ неравенство $2|x+1| \geq x-a$ выполнено при всех значения $x$?\\ Решение на координатной плоскости: прямая $y=x-a$ пересекает ось ОХ в точке с абсциссой $x=a$, а значит все ее точки будут находиться не выше графика функции $f(x)=2|x+1|$ при $a \geq-1$\\ Ответ: $a \geq-1 .$
  8. \\ а) Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения $|b-2 a|$, если $-2 \leq a \leq 1 \quad$ и $\quad 1 \leq b \leq 5 .$\\ б) Найдите наименьшее значение выражения $x^{2}+y^{2}$, если $y-x=2 .$\\ \\ 8a) $-2 \leq a \leq 1 \Leftrightarrow-4 \leq 2 a \leq 2, \quad 1 \leq b \leq 5 \Leftrightarrow-5 \leq-b \leq-1$, отсюда $-9 \leq 2 a-b \leq 1$, и окончательно получаем, что $0 \leq|2 a-b|=|b-2 a| \leq 9$\\ Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее $9 .$\\ 8б) $y-x=2 \Leftrightarrow y=x+2$ и $x^{2}+y^{2}=x^{2}+(x+2)^{2}=2 x^{2}+4 x+4=2(x+1)^{2}+2$. Отсюда наименьшее значение равно 2 при $x=-1, y=1$.\\ Ответ: $2 .$
  9. а) Покажите, что данные числа являются квадратами натуральных чисел: $a=1+5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 ; \quad b=1+6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 ; c=1+10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$.\\ б) Обобщите имеющуюся закономерность и докажите ее.\\ \\ 9a) $a=2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5+1=121=11^{2} ; \quad b=3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6+1=361=19^{2} ; \quad c=7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10+$ $+1=5041=71^{2}$.\\ 9б) Можно заметить, что во всех этих примерах произведение четырех последовательных натуральных чисел, увеличенное на единицу, является квадратом натурального числа. Докажем это. $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=\left(n^{2}+3 n\right)\left(n^{2}+3 n+2\right)+1=\left(n^{2}+3 n+1\right)^{2}-1+1=$ $\left(n^{2}+3 n+1\right)^{2}$
Материалы школы Юайти