ФМЛ №30 из 8 в 9 класс 2020 год

ЛИЦЕЙ №30 (СПБ)

2020 год

Вариант 2

1. 1. Разложите на множители выражение $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}$;
   2. найдите все тройки натуральных чисел $(x ; y ; z)$, для которых $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}=7 .$
2. 1. Решите уравнение $x^{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{5}) x+\sqrt{15}=0$.
   2. Какой из корней этого уравнения ближе к числу $2 ?$
3. 1. Напишите уравнение квадратичной функции, график которой проходит через точку $C(-1 ; 3)$ и пересекает ось ОX в точках с абсциссами 1 и $-2 .$
   2. Лежат ли точки $A(1 ; 1), B(2 ; 4)$ и $C(3 ; 13)$ на графике одной квадратичной функции?
4. Найдите площадь параллелограмма $A B C D$, в котором угол А равен $60^{\circ}$, а биссектриса $A E$ делит сторону $B C$ на отрезки $B E=1$ и $E C=3$.
5. В треугольнике $A B C$ проведена высота $C H .$ Известно, что $C H^{2}=A H \cdot H B$.
   1. Докажите, что если точка $H$ лежит на отрезке $A B$, то треугольник $A B C$ прямоугольный.
   2. Возможно ли такое соотношение в случае, если $H$ не лежит на отрезке $A B ?$ Если да приведите пример, если нет - докажите, почему.
6. Решите неравенства:
   1. $2|x+1| \geq x+2$;
   2. $\frac{2|x+1|}{x+2} \geq 1$.
7. При каких значениях параметра $a$ неравенство $2|x+1| \geq x-a$ выполнено при всех значениях $x$?
8. 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения $|b-2 a|$, если $-2 \leq a \leq 1 \quad$ и $\quad 1 \leq b \leq 5$.
   2. Найдите наименьшее значение выражения $x^{2}+y^{2}$, если $y-x=2$.
9. 1. Покажите, что данные числа являются квадратами натуральных чисел: $a=1+5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 ; \quad b=1+6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 ; c=1+10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$.
   2. Обобщите имеющуюся закономерность и докажите ее.

Решения задач

1. 1. Разложите на множители выражение $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}$.
      Решение:
      Выражение можно преобразовать в разность квадратов: \[ x^{2} + 2xy + y^{2} - z^{2} = (x + y)^2 - z^2 = (x + y - z)(x + y + z) \]
      Ответ: $(x + y - z)(x + y + z)$.
   2. Найдите все тройки натуральных чисел $(x ; y ; z)$, для которых $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}=7$.
      Решение:
      Используем результат пункта (a): \[ (x + y - z)(x + y + z) = 7 \]
      7 — простое число, поэтому возможные делители: 1 и 7. Решаем систему: \[ \begin{cases} x + y - z = 1 \\ x + y + z = 7 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 2(x + y) = 8 \implies x + y = 4 \]
      Из первого уравнения: \[ z = x + y - 1 = 3 \]
      Натуральные решения $(x, y)$ при $x + y = 4$: \[ (1, 3, 3), (2, 2, 3), (3, 1, 3) \]
      Ответ: $(1;3;3)$, $(2;2;3)$, $(3;1;3)$.
2. 1. Решите уравнение $x^{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{5}) x+\sqrt{15}=0$.
      Решение:
      Применяем теорему Виета. Корни уравнения: \[ x_{1} = \sqrt{3}, \quad x_{2} = \sqrt{5} \]
      Ответ: $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$.
   2. Какой из корней этого уравнения ближе к числу 2?
      Решение:
      Вычисляем разности: \[ |\sqrt{3} - 2| \approx 0.267, \quad |\sqrt{5} - 2| \approx 0.236 \]
      Корень $\sqrt{5}$ ближе к 2.
      Ответ: $\sqrt{5}$.
3. 1. Напишите уравнение квадратичной функции, график которой проходит через точку $C(-1 ; 3)$ и пересекает ось OX в точках с абсциссами 1 и $-2$.
      Решение:
      Общий вид квадратичной функции с корнями в 1 и -2: \[ y = a(x - 1)(x + 2) \]
      Подставляем координаты точки $C(-1, 3)$: \[ 3 = a(-1 - 1)(-1 + 2) \implies a = -\frac{3}{2} \]
      Ответ: $y = -\frac{3}{2}(x - 1)(x + 2)$.
   2. Лежат ли точки $A(1 ; 1)$, $B(2 ; 4)$ и $C(3 ; 13)$ на графике одной квадратичной функции?
      Решение:
      Составляем систему уравнений для квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$: \[ \begin{cases} a + b + c = 1 \\ 4a + 2b + c = 4 \\ 9a + 3b + c = 13 \end{cases} \] Решение системы: $a = 3$, $b = -6$, $c = 4$. Проверка показывает, что все точки удовлетворяют уравнению $y = 3x^2 - 6x + 4$.
      Ответ: Да.
4. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, в котором угол $A$ равен $60^{\circ}$, а биссектриса $AE$ делит сторону $BC$ на отрезки $BE = 1$ и $EC = 3$.
   Решение:
   Используем свойство биссектрисы: $\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AD}$. Поскольку $BE = 1$, $EC = 3$, имеем $AB = \frac{4}{3}$.
   Высота параллелограмма: \[ h = AB \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \]
   Площадь: \[ S = AD \cdot h = 4 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \]
   Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$.
5. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$. Известно, что $CH^{2} = AH \cdot HB$.
   1. Докажите, что если точка $H$ лежит на отрезке $AB$, то треугольник $ABC$ прямоугольный.
      Решение:
      Соотношение $CH^{2} = AH \cdot HB$ аналогично свойству высоты в прямоугольном треугольнике. Значит, вершина $C$ является вершиной прямого угла.
      
   2. Возможно ли такое соотношение в случае, если $H$ не лежит на отрезке $AB$?
      Ответ: Нет, так как $AH \cdot HB$ станет отрицательным, что противоречит $CH^{2} \geq 0$.
6. Решите неравенства:
   1. $2|x+1| \geq x+2$.
      Решение:
      Рассмотрим случаи:
      • $x \geq -1$: $2(x + 1) \geq x + 2 \implies x \geq 0$.
      • $x < -1$: $-2(x + 1) \geq x + 2 \implies x \leq -\frac{4}{3}$.
      Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{3}] \cup [0; +\infty)$.
   2. $\frac{2|x+1|}{x+2} \geq 1$.
      Решение:
      ОДЗ: $x \neq -2$.
      Рассмотрим случаи:
      • $x > -2$: сводится к неравенству $2|x+1| \geq x + 2$, далее аналогично пункту (a).
      • $x < -2$: неравенство не выполняется, так как левая часть неотрицательна, а правая отрицательна.
      Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{3}] \cup [0; +\infty)$.
7. При каких значениях параметра $a$ неравенство $2|x+1| \geq x - a$ выполнено при всех значениях $x$?
   Решение:
   Рассмотрим функцию $f(x) = 2|x+1| - x$. Минимальное значение функции равно 1. Требование $f(x) \geq -a$ выполняется при $1 \geq -a \implies a \geq -1$.
   Ответ: $a \geq -1$.
8. 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения $|b - 2a|$, если $-2 \leq a \leq 1$ и $1 \leq b \leq 5$.
      Решение:
      Минимум достигается при $b = 2a$ (например, $a = 0.5$, $b = 1 \implies$ минимум 0). Максимум: при $a = -2$, $b = 5 \implies |5 - (-4)| = 9$.
      Ответ: $\text{min} = 0$, $\text{max} = 9$.
   2. Найдите наименьшее значение выражения $x^{2} + y^{2}$, если $y - x = 2$.
      Решение:
      Подставляем $y = x + 2$: \[ x^{2} + (x + 2)^2 = 2x^2 + 4x + 4 = 2\left(x + 1\right)^2 + 2 \] Минимум при $x = -1$: $2 \cdot 0 + 2 = 2$.
      Ответ: 2.
9. 1. Покажите, что данные числа являются квадратами натуральных чисел: \[ a=1+5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 120 = 121 = 11^{2}, \\ b=1+6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 1 + 360 = 361 = 19^{2}, \\ c=1+10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 1 + 5040 = 5041 = 71^{2}. \]
   2. Обобщите закономерность и докажите ее.
      Решение:
      Для $n \geq 4$ выражение $1 + n(n-1)(n-2)(n-3)$ является полным квадратом. Общая формула: \[ 1 + n(n-1)(n-2)(n-3) = (n^{2} - 3n + 1)^{2} \] Доказательство: вычисление правой части с раскрытием скобок дает: \[ (n^{2} - 3n + 1)^2 = n^{4} - 6n^{3} + 11n^{2} - 6n + 1, \] что совпадает с выражением $1 + n(n-1)(n-2)(n-3)$.