«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 7 в 8 класс 2024 год

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы

2024

13.04.2024

1. Вычислите: \[ \frac{\left(5 \cdot 3^{18} + (-3)^{19} \right) \cdot 2^{34}}{12^{18}} \]
   
   
2. Найдите наибольшее значение выражения: \[ 1 + 12x - 9x^2 \]
   
   
3. Решите уравнение: \[ 121x^3 + 22x^2 + x = 0 \]
   
   
4. Найдите все значения \( a \), при которых уравнение \[ a(x + 3) = x + 3a^2 \] имеет бесконечно много корней.
   
   
5. Постройте график функции: \[ y = x - |2x - 4| \]
   
   
6. Избирательная комиссия после выборов недосчиталась 20% бюллетеней от числа всех проголосовавших. Спустя некоторое время нашли 70% пропавших бюллетеней, а затем ещё 5% от числа всех проголосовавших. Все ли пропавшие бюллетени нашли?
   
   
7. Точки \( A \) и \( D \) лежат на одной из двух параллельных прямых. Точки \( B \) и \( C \) — на другой, причём прямые \( AB \) и \( CD \) также параллельны. Докажите, что \( AB = CD \) и \( AD = BC \).
   
   
8. Высота, проведённая из вершины острого угла тупоугольного треугольника к его основанию, образует с боковыми сторонами углы \( 14^\circ \) и \( 38^\circ \). Найдите углы треугольника.
   
   
9. К гипотенузе \( AB \) прямоугольного треугольника \( ABC \) с углом \( 15^\circ \) проведены медиана \( CM \) и высота \( CH \). Найдите \( AB \), если \( CH = 4 \).
   
   
10. Числа-палиндромы — числа, которые читаются одинаково как справа налево, так и слева направо. Сколько существует шестизначных чисел-палиндромов, кратных 4?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{\left(5 \cdot 3^{18} + (-3)^{19} \right) \cdot 2^{34}}{12^{18}} \]
   Решение: \[ (-3)^{19} = -3^{19} \Rightarrow 5 \cdot 3^{18} - 3^{19} = 2 \cdot 3^{18} \] \[ 2 \cdot 3^{18} \cdot 2^{34} = 3^{18} \cdot 2^{35} \] \[ 12^{18} = (3 \cdot 4)^{18} = 3^{18} \cdot 2^{36} \] \[ \frac{3^{18} \cdot 2^{35}}{3^{18} \cdot 2^{36}} = \frac{1}{2} = 0,5 \] Ответ: 0,5.
   
   
2. Найдите наибольшее значение выражения: \[ 1 + 12x - 9x^2 \]
   Решение: Квадратичная функция с максимумом в вершине: \[ x = -\frac{b}{2a} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \] \[ 1 + 12 \cdot \frac{2}{3} - 9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 + 8 - 4 = 5 \] Ответ: 5.
   
   
3. Решите уравнение: \[ 121x^3 + 22x^2 + x = 0 \]
   Решение: \[ x(121x^2 + 22x + 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \] \[ 121x^2 + 22x + 1 = 0 \Rightarrow D = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{11} \] Ответ: \(0; -\frac{1}{11}\).
   
   
4. Найдите все значения \( a \), при которых уравнение \[ a(x + 3) = x + 3a^2 \] имеет бесконечно много корней.
   Решение: \[ (a - 1)x + 3a - 3a^2 = 0 \Rightarrow (a - 1)(x - 3a) = 0 \] Бесконечно много корней при \( a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1 \). Ответ: 1.
   
   
5. Постройте график функции: \[ y = x - |2x - 4| \]
   Решение: \[ 2x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2: \quad y = -x + 4 \] \[ 2x - 4 < 0 \Rightarrow x < 2: \quad y = 3x - 4 \] Ответ: График состоит из двух прямых: \( y = 3x - 4 \) при \( x < 2 \), \( y = -x + 4 \) при \( x \geq 2 \).
   
   
6. Избирательная комиссия недосчиталась 20% бюллетеней. Нашли 70% пропавших и 5% от всех проголосовавших. Все ли нашли?
   Решение: \[ 0,2N \cdot 0,7 + 0,05N = 0,19N \quad (0,2N - 0,19N = 0,01N) \] Ответ: Нет, осталось 1%.
   
   
7. Точки \( A \) и \( D \) на одной параллельной прямой, \( B \) и \( C \) — на другой. \( AB \parallel CD \). Доказать \( AB = CD \), \( AD = BC \).
   Решение: Четырёхугольник \( ABCD \) — параллелограмм (противоположные стороны параллельны). Следовательно, \( AB = CD \), \( AD = BC \).
   
   
8. Высота из острого угла тупоугольного треугольника образует углы \( 14^\circ \) и \( 38^\circ \). Найти углы треугольника.
   
   
9. Сколько шестизначных палиндромов кратных 4?
   Решение: Палиндром вида \( ABCCBA \). Условие: \( BA \) кратно 4. Для \( A = 2,4,6,8 \) по 5 вариантов \( B \), \( C \) — 10 вариантов: \[ 4 \cdot 5 \cdot 10 = 200 \] Ответ: 200.