Школа №192 из 7 в 8 класс 2023 год

Школа № 192

2023

07.04.2023

1. Вычислите: \[ \frac{3^7 \cdot 15^5 \cdot 4^9}{8^4 \cdot 9^4 \cdot 30^4}. \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{(2x+1)(2x-3)}{4} = x^2 - 1. \]
   
   
3. Разложите на множители:
   
   
   1. \( 81a^4 - (3a - 2)^2 \);
   2. \( 75x^2 + 12y^2 + 60xy \).
   
   
   
4. Постройте график функции \( y = -3x + 2 \). Задайте формулой прямую пропорциональность, график которой параллелен графику функции \( y = -3x + 2 \).
   
   
5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{3} - \frac{y+2}{4} = 3, \\ \displaystyle \frac{x+4}{5} + \frac{y}{3} = 0. \end{cases} \]
   
   
6. Двигаясь 2 ч против течения и 4 ч по течению, теплоход прошёл 260 км. Тот же теплоход за 8 ч по течению пройдёт столько же, сколько он пройдёт за 9 ч против течения. Найдите скорость теплохода по течению и его скорость против течения.
   
   

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{3^7 \cdot 15^5 \cdot 4^9}{8^4 \cdot 9^4 \cdot 30^4} \] Решение: Разложим числа на простые множители: \[ \frac{3^7 \cdot (3 \cdot 5)^5 \cdot (2^2)^9}{(2^3)^4 \cdot (3^2)^4 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5)^4} = \frac{3^{7+5} \cdot 5^5 \cdot 2^{18}}{2^{12} \cdot 3^{8} \cdot 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^4} = \frac{3^{12} \cdot 5^5 \cdot 2^{18}}{2^{16} \cdot 3^{12} \cdot 5^4} = \frac{5 \cdot 2^{2}}{1} = 20 \] Ответ: 20.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{(2x+1)(2x-3)}{4} = x^2 - 1 \] Решение: Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{4x^2 - 4x - 3}{4} = x^2 - 1 \quad \Big| \cdot 4 \] \[ 4x^2 - 4x - 3 = 4x^2 - 4 \] \[ -4x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{4} \] Ответ: \(\frac{1}{4}\).
   
   
3. Разложите на множители:
   1. \(81a^4 - (3a - 2)^2\)
      Решение: \[ (9a^2)^2 - (3a - 2)^2 = (9a^2 - 3a + 2)(9a^2 + 3a - 2) \] Ответ: \((9a^2 - 3a + 2)(9a^2 + 3a - 2)\).
   2. \(75x^2 + 12y^2 + 60xy\)
      Решение: \[ 3(25x^2 + 20xy + 4y^2) = 3(5x + 2y)^2 \] Ответ: \(3(5x + 2y)^2\).
   
   
   
4. Постройте график функции \(y = -3x + 2\). Задайте формулой прямую пропорциональность, график которой параллелен графику функции \(y = -3x + 2\).
   Решение: Угловой коэффициент параллельной прямой равен \(-3\). Пример прямой пропорциональности: \(y = -3x\).
   Ответ: \(y = -3x\).
   
   
5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{3} - \frac{y+2}{4} = 3, \\ \displaystyle \frac{x+4}{5} + \frac{y}{3} = 0. \end{cases} \] Решение: Умножим уравнения для устранения знаменателей: \[ \begin{cases} 4x - 3(y + 2) = 36 \quad \Rightarrow \quad 4x - 3y = 42, \\ 3(x + 4) + 5y = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x + 5y = -12. \end{cases} \] Решаем методом сложения: \[ \begin{cases} 20x - 15y = 210, \\ 9x + 15y = -36. \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 29x = 174 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \] Подставим \(x = 6\) во второе уравнение: \[ 3 \cdot 6 + 5y = -12 \quad \Rightarrow \quad y = -6 \] Ответ: \((6; -6)\).
   
   
6. Двигаясь 2 ч против течения и 4 ч по течению, теплоход прошёл 260 км. Тот же теплоход за 8 ч по течению пройдёт столько же, сколько он пройдёт за 9 ч против течения. Найдите скорость теплохода по течению и его скорость против течения.
   Решение: Пусть \(v\) — собственная скорость теплохода, \(u\) — скорость течения. Тогда: \[ \begin{cases} 2(v - u) + 4(v + u) = 260, \\ 8(v + u) = 9(v - u). \end{cases} \] Упростим систему: \[ \begin{cases} 6v + 2u = 260 \quad \Rightarrow \quad 3v + u = 130, \\ 17u = v. \end{cases} \] Подставим \(v = 17u\) в первое уравнение: \[ 3 \cdot 17u + u = 130 \quad \Rightarrow \quad u = 2,5 \quad \Rightarrow \quad v = 42,5 \] Скорость по течению: \(42,5 + 2,5 = 45\) км/ч, против течения: \(42,5 - 2,5 = 40\) км/ч.
   Ответ: 45 км/ч и 40 км/ч.