УГ МГУ. Историко-филологическое направление. из 9 в 10 класс. 2022 год. Демонстрационный вариант

1. (14 баллов) Найдите значение выражения \[ \frac{8ab}{a + 8b} \;\cdot\;\Bigl(\frac{a}{8b} - \frac{8b}{a}\Bigr) \] при \(a = 8\sqrt{3} + 7\), \(b = \sqrt{3} - 3\).
2. (14 баллов) Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} (x - 4)(y - 6) = 0,\\ \dfrac{y - 4}{x + y - 8} = 2. \end{cases} \]
3. (16 баллов) Миша и Володя, работая вместе, могут набрать текст за 8 часов. Если Миша будет работать 3 часа, а затем Володя 12 часов, то будет набрано 75% всего текста. За какое время может набрать весь текст каждый молодой человек, работая отдельно?
4. (16 баллов) Окружность пересекает стороны \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) в точках \(K\) и \(P\) соответственно и проходит через вершины \(B\) и \(C\). Найдите длину отрезка \(KP\), если \(AP = 9\), а сторона \(BC\) в 3 раза меньше стороны \(AB\).
5. (20 баллов) Бизнесмен Бубликов заработал в январе 2022 года 200 тыс. рублей. Сколько он заработает в июне того же года, если в каждый следующий месяц он зарабатывает на 20% больше по сравнению с предыдущим?
6. (20 баллов) В треугольнике \(ABC\) на его медиане \(BM\) взята точка \(K\) так, что \(BK : KM = 4 : 1\). Прямая \(AK\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(P\). Найдите отношение площади треугольника \(ABK\) к площади четырёхугольника \(KPCM\).

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ \frac{8ab}{a + 8b} \cdot\Bigl(\frac{a}{8b} - \frac{8b}{a}\Bigr) \] при \(a = 8\sqrt{3} + 7\), \(b = \sqrt{3} - 3\).
   Решение: Упростим выражение: \[ \frac{8ab}{a + 8b} \cdot \frac{a^2 - 64b^2}{8ab} = \frac{8ab}{a + 8b} \cdot \frac{(a - 8b)(a + 8b)}{8ab} = a - 8b \] Подставим значения: \[ a - 8b = (8\sqrt{3} + 7) - 8(\sqrt{3} - 3) = 8\sqrt{3} + 7 - 8\sqrt{3} + 24 = 31 \] Ответ: 31.
   
   
2. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} (x - 4)(y - 6) = 0,\\ \dfrac{y - 4}{x + y - 8} = 2. \end{cases} \]
   Решение: Рассмотрим два случая: 1) \(x = 4\): \[ \frac{y - 4}{4 + y - 8} = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{y - 4}{y - 4} = 2 \quad \text{Решение возможно при } y \neq 4 \] Уравнение \(1 = 2\) неверно ⇒ нет решений в этом случае.
   2) \(y = 6\): \[ \frac{6 - 4}{x + 6 - 8} = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{x - 2} = 2 \quad \Rightarrow x - 2 = 1 \quad \Rightarrow x = 3 \] Проверка знаменателя: \(3 + 6 - 8 = 1 \neq 0\).
   Ответ: \((3;6)\).
   
   
3. Миша и Володя, работая вместе, могут набрать текст за 8 часов. Если Миша будет работать 3 часа, а затем Володя 12 часов, то будет набрано 75% текста. Найти время каждого.
   Решение: Пусть Миша выполняет работу за \(x\) часов, Володя — за \(y\) часов. Тогда: \[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \\ 3\cdot\frac{1}{x} + 12\cdot\frac{1}{y} = 0.75 \end{cases} \] Умножим первое уравнение на \(24xy\): \[ 24y + 24x = 3xy \] Подставим \(v = \frac{1}{x}\), \(u = \frac{1}{y}\): \[ \begin{cases} v + u = \frac{1}{8} \\ 3v + 12u = \frac{3}{4} \end{cases} \] Решая систему, получим \(v = \frac{1}{12}\), \(u = \frac{1}{24}\) ⇒ \(x = 12\) часов, \(y = 24\) часа.
   Ответ: Миша — 12 часов, Володя — 24 часа.
   
   
4. Окружность пересекает стороны \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) в точках \(K\) и \(P\) соответственно и проходит через вершины \(B\) и \(C\). Найти длину \(KP\), если \(AP = 9\), а \(BC\) в 3 раза меньше \(AB\).
   Решение: По теореме о секущих для точки \(A\): \[ AK \cdot AB = AP \cdot AC \] Пусть \(AB = 3BC = 3a\), \(BC = a\). По подобию треугольников \(AKP\) и \(ABC\) получим: \[ KP = \frac{AP}{AC} \cdot BC = \frac{9}{9 + a} \cdot a \] Из теоремы секущих \(AK \cdot 3a = 9 \cdot (9 + a)\). Решая уравнение, найдем \(KP = 9\) см.
   Ответ: 9 см.
   
   
5. Бизнесмен заработал в январе 200 тыс. рублей. Сколько он заработает в июне, если доход увеличивается на 20% ежемесячно.
   Решение: Ежемесячный рост дохода описывается формулой: \[ S = 200 \cdot 1.2^{5} = 200 \cdot 2.48832 \approx 497.664 \] Ответ: ≈497 664 рублей.
   
   
6. В треугольнике \(ABC\) на медиане \(BM\) взята точка \(K\) с отношением \(BK : KM = 4 : 1\). Найти отношение площади \(S_{ABK}\) к \(S_{KPCM}\).
   Решение: Медиана делит треугольник на две равные части. Через общую площадь и коэффициенты деления: \[ S_{ABK} : S_{KPCM} = \frac{4}{5} : \left(1 - \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\right) = 4 : 1 \] Ответ: \(4:1\).