УГ МГУ. Информационно-математическое направление. из 9 в 10 класс. 2022 год. Демонстрационный вариант

1. (10 баллов) Решите уравнение \[ 7 - x + \sqrt{16x^2 - 56x + 49} = x^2. \]
2. (10 баллов) Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{-11x^2 + 33x - 2}{x - 3} + 7x \le \frac{-4x - 8x^2 + 2}{2x + 1},\\ |2x + 1| + x - 3 \ge 0. \end{cases} \]
3. (12 баллов) Точки \(C\) и \(D\) лежат на полуокружности с диаметром \(AB = 6\) (точка \(C\) между точками \(A\) и \(D\)). Прямые \(AC\) и \(BD\), \(AD\) и \(BC\) пересекаются в точках \(P\) и \(Q\) соответственно. Прямая \(PQ\) пересекает диаметр \(AB\) в точке \(H\). Найти длину отрезка \(PH\), если известно, что площадь треугольника \(ABP\) равна 10.
4. (14 баллов) Из пункта \(A\) в пункт \(B\) выехал велосипедист. Спустя 3 часа из пункта \(A\) в пункт \(B\) отправился мотоциклист. После обгона велосипедиста он за один час достиг пункта \(B\), опередив велосипедиста на 1,5 часа. Сколько времени ехал велосипедист?
5. (16 баллов) В треугольнике \(ABC\) угол \(B\) — прямой, медианы \(CD\) и \(BE\) взаимно перпендикулярны. Найдите косинус угла \(ACB\).
6. (18 баллов) Найти все значения параметра \(b\), при которых графики функций \[ y = (b - 3x)^2 - 16 \quad\text{и}\quad y = -x \] пересекаются ровно в двух различных точках, и обе точки пересечения находятся выше оси абсцисс.
7. (20 баллов) Знаменатель геометрической прогрессии равен \(\tfrac12\), а сумма членов, имеющих чётные номера, равна 42. Найдите разность первого и последнего членов исходной прогрессии, если в ней содержится нечётное число членов.

Решения задач

1. Решите уравнение \[7 - x + \sqrt{16x^2 - 56x + 49} = x^2.\]
   Решение: Заметим, что подкоренное выражение можно представить как квадрат разности: \[ \sqrt{16x^2 - 56x + 49} = \sqrt{(4x - 7)^2} = |4x - 7| \] Уравнение принимает вид: \[ 7 - x + |4x - 7| = x^2. \] Рассмотрим два случая: Случай 1: \(4x - 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq \dfrac{7}{4}\) \[ 7 - x + (4x - 7) = x^2 \Rightarrow 3x = x^2 \Rightarrow x(x - 3) = 0. \] Из \(x \geq \dfrac{7}{4}\) подходит \(x = 3\). Случай 2: \(4x - 7 < 0 \Rightarrow x < \dfrac{7}{4}\) \[ 7 - x + (7 - 4x) = x^2 \Rightarrow 14 - 5x = x^2 \Rightarrow x^2 + 5x - 14 = 0. \] Дискриминант: \(D = 25 + 56 = 81\), \[ x = \dfrac{-5 \pm 9}{2} \Rightarrow x_1 = 2,\ x_2 = -7. \] Из \(x < \dfrac{7}{4}\) подходит \(x = -7\). Ответ: \(\boxed{-7;\ 3}\).
   
   
2. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{-11x^2 + 33x - 2}{x - 3} + 7x \le \dfrac{-4x - 8x^2 + 2}{2x + 1},\\ |2x + 1| + x - 3 \ge 0. \end{cases} \]
   Решение: Преобразуем первое неравенство: \[ \dfrac{-11x^2 + 33x - 2 + 7x(x - 3)}{x - 3} = \dfrac{-4x^2 + 12x - 2}{x - 3}. \] Перенося все слагаемые влево и приводя к общему знаменателю: \[ \dfrac{-6x + 4}{(x - 3)(2x + 1)} \leq 0. \] Метод интервалов даёт: \[ x \in (-0{,}5;\ 2/3] \cup (3;\ +\infty). \] Рассмотрим второе неравенство: \[ |2x + 1| + x - 3 \geq 0. \] Разбор случаев: Случай 1: \(2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\dfrac{1}{2}\) \[ 3x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \dfrac{2}{3}. \] Случай 2: \(2x + 1 < 0 \Rightarrow x < -\dfrac{1}{2}\) \[ -x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \leq -4. \] Объединяя решения второго неравенства: \[ x \leq -4 \quad \text{или} \quad x \geq \dfrac{2}{3}. \] Пересечение решений системы: \[ x \in \left\{\dfrac{2}{3}\right\} \cup (3;\ +\infty). \] Ответ: \(\boxed{\dfrac{2}{3}}\) \(\boxed{(3;\ +\infty)}\).
   
   
3. Найти длину отрезка \(PH\), если площадь треугольника \(ABP\) равна 10.
   Решение: Диаметр \(AB = 6\), радиус окружности равен 3. Площадь треугольника \(ABP\): \[ S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot h = 10 \Rightarrow \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 10 \Rightarrow h = \dfrac{10}{3}. \] Высота \(PH = h\), так как \(H\) — проекция точки \(P\) на диаметр \(AB\). Ответ: \(\boxed{\dfrac{10}{3}}\).
   
   
4. Сколько времени ехал велосипедист?
   Решение: Пусть \(V\) — скорость велосипедиста, \(S\) — скорость мотоциклиста. Догоняющее время: \[ t = \dfrac{3V}{S - V}. \] После обгона мотоциклист прибыл через 1 час и опередил велосипедиста на 1{,}5 часа. Решая систему уравнений, получаем: \[ T = t + 5{,}5 \Rightarrow T = 9. \] Ответ: \(\boxed{9}\).
   
   
5. Найдите косинус угла \(ACB\).
   Решение: Координаты точек \(B(0;\ 0)\), \(A(a;\ 0)\), \(C(0;\ c)\). Векторы: \[ \overrightarrow{BE} = \left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{c}{2}\right), \quad \overrightarrow{CD} = \left(\dfrac{a}{2},\ -c\right). \] Условие перпендикулярности: \[ \dfrac{a^2}{4} - \dfrac{c^2}{2} = 0 \Rightarrow a^2 = 2c^2. \] Косинус угла между векторами \(CB = (0;\ c)\) и \(CA = (a;\ -c)\): \[ \cos \angle ACB = \dfrac{c^2}{c\sqrt{a^2 + c^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}. \] Ответ: \(\boxed{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}\).
   
   
6. Найти все значения параметра \(b\).
   Решение: Уравнение пересечения: \[ (b - 3x)^2 - 16 = -x \Rightarrow 9x^2 - (6b - 1)x + b^2 - 16 = 0. \] Корни должны быть отрицательными: \[ \begin{cases} (6b - 1)/9 < 0 \Rightarrow b 0 \Rightarrow |b| > 4. \end{cases} \] Объединяя условия: \[ b < -4. \] Ответ: \(\boxed{(-\infty;\ -4)}\).
   
   
7. Найдите разность первого и последнего членов прогрессии.
   Решение: Сумма членов с четными номерами: \[ S_{\text{чёт}} = \dfrac{a_1 \cdot q (1 - (q^2)^k)}{1 - q^2} = 42. \] Знаменатель \(q = \dfrac{1}{2}\), отсюда \(a_1 = \dfrac{63}{1 - (1/4)^k}\). Разность: \[ \Delta = a_1 - a_n = a_1(1 - (1/2)^{2k}) = 63. \] Ответ: \(\boxed{63}\).