УГ МГУ. Химико-биологическое направление из 7 в 8 класс 2022 год демонстрационный вариант

1. (10 баллов) Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} 202x - 505y = 2020,\\ 129x + 43y = 2021. \end{cases} \]
2. (10 баллов) Доказать, что значение выражения \[ (y - 2)^2(3y^2 + 5y - 2)\;-\;(y - 1)(3y^3 - 4y^2 - 14y + 14) \] при любом значении переменной меньше 7.
3. (10 баллов) Сумма трёх чисел равна 90. Первое число на десять меньше второго, а второе в два раза больше третьего. Найдите эти числа.
4. (15 баллов) Два автомобиля выехали навстречу друг другу из городов \(A\) и \(B\), расстояние между которыми составляет 280 км. Скорость первого автомобиля, выехавшего из города \(A\), на 20 км/ч больше скорости второго автомобиля, выехавшего из города \(B\). Найдите скорость каждого автомобиля, если известно, что они встретились через 3 ч после того, как первый автомобиль выехал из города \(A\), а второй автомобиль из города \(B\) выехал на полчаса позже первого.
5. (16 баллов) Высоты треугольника \(LMN\), проведённые из вершин \(L\) и \(N\), пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(LO = NO\). Докажите, что треугольник \(LMN\) — равнобеденный.
6. (12 баллов) Для изготовления фруктовых наборов магазин закупил ананасы, манго и авокадо — всего 760 штук. Ананасов взяли на 80 штук больше, чем манго, а авокадо на 120 штук меньше, чем ананасов. Какое наибольшее число одинаковых фруктовых наборов можно сделать из этих фруктов?
7. (12 баллов) С помощью циркуля и линейки постройте равнобеденный треугольник по биссектрисе, проведённой к основанию и углу, противолежащему основанию.
8. (15 баллов) Фермер привёз в ресторан свежие помидоры, в которых содержится 99% влаги. Из них приготовили фирменное блюдо ресторана — «Томатино», состоящее только из вяленых помидоров, в которых содержание влаги составляет уже 96%. Во сколько раз масса приготовленного «Томатино» будет меньше массы привезённых помидоров?

Решения задач

1. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} 202x - 505y = 2020,\\ 129x + 43y = 2021. \end{cases} \]
   Решение: Упростим уравнения, разделив первое на 101 и второе на 43: \[ \begin{cases} 2x - 5y = 20, \\ 3x + y = 47. \end{cases} \] Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = 47 - 3x \). Подставим в первое уравнение: \[ 2x - 5(47 - 3x) = 20 \quad \Rightarrow \quad 17x = 255 \quad \Rightarrow \quad x = 15. \] Подставим \( x = 15 \) во второе уравнение: \[ y = 47 - 3 \cdot 15 = 2. \] Проверка подстановкой в исходные уравнения подтверждает правильность решения.
   Ответ: \( x = 15, \, y = 2 \).
2. Доказать, что значение выражения \[ (y - 2)^2(3y^2 + 5y - 2)\;-\;(y - 1)(3y^3 - 4y^2 - 14y + 14) \] при любом значении переменной меньше 7.
   Решение: Раскроем и упростим выражение: \[ \begin{aligned} &(y^2 - 4y + 4)(3y^2 + 5y - 2) - (y - 1)(3y^3 - 4y^2 - 14y + 14) \\ &= 3y^4 -7y^3 -10y^2 +28y -8 - (-3y^4 +7y^3 +10y^2 -28y +14) \\ &= 6. \end{aligned} \] Поскольку \( 6 < 7 \), утверждение доказано.
   Ответ: доказано.
3. Сумма трёх чисел равна 90. Первое число на десять меньше второго, а второе в два раза больше третьего. Найдите эти числа.
   Решение: Пусть третье число \( z \), тогда второе \( 2z \), первое \( 2z -10 \). Из условия: \[ (2z - 10) + 2z + z = 90 \quad \Rightarrow \quad 5z = 100 \quad \Rightarrow \quad z = 20. \] Числа: \( 2 \cdot 20 - 10 = 30 \), второе \( 40 \), третье \( 20 \).
   Ответ: 30, 40, 20.
4. Два автомобиля выехали навстречу друг другу из городов \(A\) и \(B\) (280 км). Скорость первого на 20 км/ч больше. Встретились через 3 ч после выезда первого, второй выехал на полчаса позже.
   Решение: Пусть скорость второго \( v \), тогда первого \( v + 20 \). Время движения первого 3 ч, второго 2.5 ч: \[ 3(v + 20) + 2.5v = 280 \quad \Rightarrow \quad 5.5v = 220 \quad \Rightarrow \quad v = 40 \, \text{км/ч}. \] Скорость первого: \( 60 \, \text{км/ч} \).
   Ответ: 60 км/ч и 40 км/ч.
5. Доказать, что треугольник \(LMN\) равнобедренный, если высоты из \(L\) и \(N\) пересекаются в точке \(O\) и \(LO = NO\).
   Решение: Из равенства отрезков \( LO = NO \) следует, что точка \( O \) равноудалена от вершин \(L\) и \(N\). В прямоугольных треугольниках \( LOM \) и \( NOM \) катеты \(MO\) общий, \(LO = NO\), значит треугольники равны. Следовательно, \( LM = NM \), что доказывает равнобедренность.
   Ответ: доказано.
6. Найти наибольшее число наборов из 760 фруктов (ананасов на 80 больше манго, авокадо на 120 меньше ананасов).
   Решение: Пусть манго \( m \), ананасы \( m +80 \), авокадо \( m -40 \). Сумма: \[ 3m +40 = 760 \quad \Rightarrow \quad m = 240. \] НОД(240, 320, 200) = 40.
   Ответ: 40 наборов.
7. Построить равнобедренный треугольник по биссектрисе и углу против основания.
   Решение: 1. Построить заданный угол \( \alpha \).
   2. Построить биссектрису угла \( \alpha \), отложить на ней длину биссектрисы.
   3. Из концов биссектрисы восстановить перпендикуляры до пересечения со сторонами угла.
   Ответ: построение выполнено.
8. Определить, во сколько раз масса «Томатино» меньше исходных помидоров (99% → 96% влаги).
   Решение: Сухое вещество: \( 1\%M = 4\%x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{M}{4} \).
   Ответ: в 4 раза.