УГ МГУ. Гуманитарное направление из 7 в 8 класс 2022 год демонстрационный вариант

1. (10 баллов) Вычислить \[ \frac{13}{16} \;-\;\bigl(1.6 - \tfrac{14}{15}\bigr)\cdot\tfrac{6}{7} : \tfrac{11}{21}. \]
2. (10 баллов) Разложить на множители \[ a^3x^2 - ax - 4a^3 - 2a. \]
3. (10 баллов) Решить уравнение \[ 27\Bigl(\tfrac{1}{3}x - 1\Bigr)\Bigl(\tfrac{1}{9}x^2 + \tfrac{1}{3}x + 1\Bigr) - x(x-1)^2 = 2x^2. \]
4. (15 баллов) Ширина прямоугольника в 4 раза меньше длины. Длину увеличили на 10%, а ширину уменьшили на 20%. Увеличился или уменьшился периметр прямоугольника? На сколько процентов?
5. (16 баллов) Грузовик выехал из города в село со скоростью 50 км/ч. Через 2 часа за ним выехала легковая машина, скорость которой больше скорости грузовика на 25 км/ч. Найти расстояние от города до села, если обе машины прибыли в село одновременно.
6. (12 баллов) Постройте график функции \[ y = \begin{cases} -x + 2, & x \le 0,\\ 2x + 2, & x > 0. \end{cases} \] Найдите координаты точек пересечения этого графика и прямой \(y = \tfrac{1}{3}x + 7\).
7. (12 баллов) В прямоугольном треугольнике \(ABC\) из вершины прямого угла \(C\) проведена высота \(CD\). Найдите угол \(\angle BCD\), если \(AB = 10\) и \(BC = 5\).
8. (15 баллов) На стороне \(BC\) угла \(ABC\) отметили точку \(D\) и через неё провели прямую, параллельную стороне \(BA\). Эта прямая пересекла биссектрису угла \(ABC\) в точке \(M\). Найдите углы \(\angle ABM\) и \(\angle BDM\), если \(\angle BMD = 35^\circ\).

Решения задач

1. Вычислить \[ \frac{13}{16} \;-\;\bigl(1.6 - \tfrac{14}{15}\bigr)\cdot\tfrac{6}{7} : \tfrac{11}{21} \] Решение: Переведем 1.6 в дробь: $1.6 = \frac{8}{5}$. \[ \frac{8}{5} - \frac{14}{15} = \frac{24}{15} - \frac{14}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \] Умножим и разделим: \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{7} : \frac{11}{21} = \frac{12}{21} \cdot \frac{21}{11} = \frac{12}{11} \] Выполним вычитание: \[ \frac{13}{16} - \frac{12}{11} = \frac{143 - 192}{176} = -\frac{49}{176} \] Ответ: $-\dfrac{49}{176}$.
   
   
2. Разложить на множители \[ a^3x^2 - ax - 4a^3 - 2a \] Решение: Сгруппируем слагаемые: \[ a(a^2x^2 - x - 4a^2 - 2) \] Разложим квадратный трехчлен: \[ a(a^2x^2 - (4a^2 + 2)) - x \] Представим как: \[ a(a(\cancel{ax^2}) - x - 2(2a^2 + 1)) \] Окончательно: \[ a(ax - 2)(ax + 1) \] Ответ: $a(ax - 2)(ax + 1)$.
   
   
3. Решить уравнение \[ 27\Bigl(\tfrac{1}{3}x - 1\Bigr)\Bigl(\tfrac{1}{9}x^2 + \tfrac{1}{3}x + 1\Bigr) - x(x-1)^2 = 2x^2 \] Решение: Раскроем скобки, используя формулу разности кубов: \[ 27 \cdot \left(\left(\frac{x}{3}\right)^3 - 1^3\right) = x^3 - 27 \] Преобразуем уравнение: \[ x^3 - 27 - x(x^2 - 2x + 1) = 2x^2 \] Раскроем и упростим: \[ x^3 - 27 - x^3 + 2x^2 - x = 2x^2 \] Приведем подобные: \[ -27 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -27 \] Ответ: $-27$.
   
   
4. Ширина прямоугольника в 4 раза меньше длины. Длину увеличили на 10%, а ширину уменьшили на 20%. Увеличился или уменьшился периметр? На сколько процентов? Решение: Пусть исходная длина $4x$, ширина $x$. Исходный периметр: $2(4x + x) = 10x$. Новые размеры: \[ 4x \cdot 1.1 = 4.4x; \quad x \cdot 0.8 = 0.8x \] Новый периметр: \[ 2(4.4x + 0.8x) = 10.4x \] Изменение: \[ \frac{10.4x - 10x}{10x} \cdot 100% = 4% \] Ответ: Периметр увеличился на 4%.
   
   
5. Грузовик выехал из города в село со скоростью 50 км/ч. Через 2 часа выехала легковая машина со скоростью 75 км/ч. Оба прибыли одновременно. Найти расстояние. Решение: Пусть расстояние $S$, время грузовика $\frac{S}{50}$, время машины $\frac{S}{75}$. Разница времени 2 часа: \[ \frac{S}{50} - \frac{S}{75} = 2 \quad \Rightarrow \quad S\left(\frac{3 - 2}{150}\right) = 2 \quad \Rightarrow \quad S = 300 \] Ответ: 300 км.
   
   
6. Построить график функции \[ y = \begin{cases} -x + 2, & x \le 0,\\ 2x + 2, & x > 0. \end{cases} \] Найти точки пересечения с $y = \tfrac{1}{3}x + 7$. Решение: Для $x \le 0$: \[ -x + 2 = \frac{1}{3}x + 7 \quad \Rightarrow \quad -\frac{4}{3}x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{15}{4} \] Для $x > 0$: \[ 2x + 2 = \frac{1}{3}x + 7 \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{3}x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] Точки: $\left(-\frac{15}{4}, \frac{23}{4}\right)$ и $(3, 8)$. Ответ: $\left(-\dfrac{15}{4}, \dfrac{23}{4}\right)$ и $(3, 8)$.
   
   
7. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$), $AB = 10$, $BC = 5$. Найти угол $\angle BCD$. Решение: Катет $BC = 5$, гипотенуза $AB = 10$, следовательно, $AC = \sqrt{10^2 - 5^2} = 5\sqrt{3}$. Высота $CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{5\sqrt{3} \cdot 5}{10} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$. $\angle BCD = \arccos\left(\frac{BC}{AB}\right) = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$. Ответ: $60^\circ$.
   
   
8. В угле $ABC$ точка $D$ на стороне $BC$, прямая через $D$ параллельна $BA$ пересекает биссектрису в $M$. $\angle BMD = 35^\circ$. Найти $\angle ABM$ и $\angle BDM$. Решение: Пусть $\angle ABM = x$, тогда $\angle DBM = x$ (биссектриса). Так как $DM \parallel BA$, $\angle BMD = \angle ABM = x = 35^\circ$. Угол $\angle BDM = 180^\circ - x - x = 110^\circ$. Ответ: $\angle ABM = 35^\circ$, $\angle BDM = 110^\circ$.