УГ МГУ. Гуманитарное направление. из 7 в 8 класс. 2023 год. Демонстрационный вариант

1. Найдите значение выражения \[ (n^2 - 5m) - (4n^2 - 7) - (9m - 3n^2) \] при \(m = 1, 4\).
2. При каких \(a\) имеют общие корни уравнения \(6x + 1 = 0\) и \(2x - a = 0\)?
3. Литровая бутылка, наполненная растительным маслом, весит 950 г. Когда из неё вылили половину масла, она стала весить 550 г. Сколько весит масло? Сколько весит пустая бутылка?
4. Двое путников одновременно вышли из \(A\) в \(B\). Первый путник половину времени, затраченного им на переход, шёл со скоростью 5 км/ч, а затем пошёл со скоростью 4 км/ч. Второй же половину пути шёл со скоростью 4 км/ч, а затем пошёл со скоростью 5 км/ч. Кто из них раньше пришёл в \(B\)?
5. На боковых сторонах \(AB\) и \(AC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) взяты точки \(K\) и \(E\) так, что \(AK = AE\). Докажите, что прямые \(KE\) и \(BC\) параллельны.
6. Длины двух противоположных сторон прямоугольника увеличили на 20 %, а длины двух других уменьшили на 20 %. Уменьшилась или увеличилась площадь прямоугольника? На сколько процентов?
7. Докажите, что два треугольника равны, если у них соответственно равны сторона, прилежащий к ней угол и биссектриса этого угла.
8. В делегации иностранных гостей \(\tfrac{1}{6}\) говорящих по-английски говорит и по-немецки, а \(\tfrac{1}{5}\) говорящих по-немецки говорит и по-английски. Кого в делегации больше: говорящих по-немецки или говорящих по-английски?

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ (n^2 - 5m) - (4n^2 - 7) - (9m - 3n^2) \] при \(m = 1,4\).
   Решение: Упростим выражение: \[ n^2 - 5m - 4n^2 + 7 - 9m + 3n^2 = (n^2 - 4n^2 + 3n^2) + (-5m - 9m) + 7 = 0n^2 - 14m + 7 = -14m + 7 \] Подставим \(m = 1,4\): \[ -14 \cdot 1,4 + 7 = -19,6 + 7 = -12,6 \] Ответ: \(-12,6\).
2. При каких \(a\) имеют общие корни уравнения \(6x + 1 = 0\) и \(2x - a = 0\)?
   Решение: Найдем корни уравнений: \[ 6x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{6} \] \[ 2x - a = 0 \implies x = \frac{a}{2} \] Условие равенства корней: \[ -\frac{1}{6} = \frac{a}{2} \implies a = -\frac{1}{6} \cdot 2 = -\frac{1}{3} \] Ответ: \(a = -\frac{1}{3}\).
3. Литровая бутылка, наполненная растительным маслом, весит 950 г. Когда из неё вылили половину масла, она стала весить 550 г. Сколько весит масло? Сколько весит пустая бутылка?
   Решение: Пусть вес бутылки — \(x\) г, вес масла — \(y\) г. Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 950 \\ x + \frac{y}{2} = 550 \end{cases} \] Вычтем второе уравнение из первого: \[ y - \frac{y}{2} = 400 \implies \frac{y}{2} = 400 \implies y = 800 \text{ г} \] Тогда: \[ x = 950 - 800 = 150 \text{ г} \] Ответ: масло — 800 г, бутылка — 150 г.
4. Двое путников одновременно вышли из \(A\) в \(B\). Первый путник половину времени, затраченного им на переход, шёл со скоростью 5 км/ч, а затем пошёл со скоростью 4 км/ч. Второй же половину пути шёл со скоростью 4 км/ч, а затем пошёл со скоростью 5 км/ч. Кто из них раньше пришёл в \(B\)?
   Решение: Пусть расстояние между \(A\) и \(B\) равно \(S\) км, время первого путника — \(t_1\), второго — \(t_2\). Для первого путника: \[ \frac{t_1}{2} \cdot 5 + \frac{t_1}{2} \cdot 4 = S \implies \frac{9t_1}{2} = S \implies t_1 = \frac{2S}{9} \] Для второго путника: \[ \frac{S}{2 \cdot 4} + \frac{S}{2 \cdot 5} = \frac{S}{8} + \frac{S}{10} = \frac{9S}{40} = t_2 \] Сравним времена: \[ t_1 = \frac{2S}{9} \approx 0,222S; \quad t_2 = \frac{9S}{40} = 0,225S \] Ответ: первый путник пришёл раньше.
5. На боковых сторонах \(AB\) и \(AC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) взяты точки \(K\) и \(E\) так, что \(AK = AE\). Докажите, что прямые \(KE\) и \(BC\) параллельны.
   Доказательство: Треугольник \(ABC\) равнобедренный, \(AB = AC\). Из условия \(AK = AE\) следует, что точки \(K\) и \(E\) отсекают равные отрезки от вершин \(A\). Поэтому треугольники \(AKE\) и \(ABC\) подобны (по двум пропорциональным сторонам и равному углу при вершине). Следовательно, \(\angle AKE = \angle ABC\), что означает параллельность \(KE \parallel BC\) по признаку соответственных углов.
6. Длины двух противоположных сторон прямоугольника увеличили на 20\%, а длины двух других уменьшили на 20\%. Уменьшилась или увеличилась площадь прямоугольника? На сколько процентов?
   Решение: Пусть исходные стороны \(a\) и \(b\). Новая площадь: \[ (1,2a) \cdot (0,8b) = 0,96ab \] Относительное изменение площади: \[ \frac{0,96ab - ab}{ab} \cdot 100% = -4\% \] Ответ: площадь уменьшилась на 4\%.
7. Докажите, что два треугольника равны, если у них соответственно равны сторона, прилежащий к ней угол и биссектриса этого угла.
   Доказательство: Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A'B'C'\) с соответственно равными сторонами \(AB = A'B'\), углами \(\angle BAC = \angle B'A'C'\), и биссектрисами \(AD = A'D'\) (где \(D\) и \(D'\) — точки на соответствующих сторонах). Биссектриса делит угол пополам, значит \(\angle BAD = \angle B'A'D'\). Поскольку стороны и прилежащие углы равны, треугольники \(ABD\) и \(A'B'D'\) равны по ASA. Отсюда следует равенство всех элементов треугольников \(ABC\) и \(A'B'C'\), что доказывает их равенство по ASA.
8. В делегации иностранных гостей \(\tfrac{1}{6}\) говорящих по-английски говорит и по-немецки, а \(\tfrac{1}{5}\) говорящих по-немецки говорит и по-английски. Кого в делегации больше: говорящих по-немецки или говорящих по-английски?
   Решение: Пусть \(E\) — число англоговорящих, \(G\) — немецкоговорящих. Тогда: \[ \frac{1}{6}E = \frac{1}{5}G \implies E = \frac{6}{5}G \implies E > G \] Ответ: англоговорящих больше.