УГ МГУ. Физико-математическое направление из 7 в 8 класс 2023 год демонстрационный вариант

1. Вставьте вместо звёздочек пропущенные одночлены так, чтобы получилось равенство \[ 6c^3 - 15bc^2 - 14bc + * = (2c - 5b)(* - *). \]
2. Можно ли утверждать, что при любых значениях переменных верно неравенство \[ 3(2xy + 1) - 5(x^2 + 3) < 6(xy - 2). \]
3. В классе 32 человека. Из них 23 человека любят кошек, 18 человек — собак. При этом 10 человек любят и кошек, и собак. Сколько человек не любят ни кошек, ни собак?
4. Из Нижнего Новгорода в Астрахань теплоход плывёт 5 суток, а обратно — 7 суток. За сколько суток из Нижнего Новгорода в Астрахань доплывёт плот? Известно, что плот плывёт со скоростью течения реки.
5. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, сторона \(AB\) в два раза больше стороны \(BC\). Докажите, что угол \(ABC\) в два раза больше угла \(BAC\).
6. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20% дохода. За сколько лет вложенная сумма удвоится?
7. Верно ли, что два треугольника равны, если у них соответственно равны две стороны и высота, проведённая к третьей стороне?
8. Мне теперь вдвое больше лет, чем было тогда, когда мой брат был в моём возрасте. Когда мне будет столько лет, сколько теперь моему брату, то нам вместе будет 98 лет. Сколько лет каждому?

Решения задач

1. Вставьте вместо звёздочек пропущенные одночлены так, чтобы получилось равенство \[ 6c^3 - 15bc^2 - 14bc + * = (2c - 5b)(* - *). \] Решение: Предположим, что правая часть имеет вид $(2c - 5b)(A c^2 + B bc + C b^2)$. Раскроем произведение: $$\begin{aligned} (2c - 5b)(A c^2 + B bc + C b^2) &= 2c \cdot A c^2 + 2c \cdot B bc + 2c \cdot C b^2 \\ &\quad - 5b \cdot A c^2 - 5b \cdot B bc - 5b \cdot C b^2 \\ &= 2A c^3 + (2B - 5A) bc^2 + (2C - 5B) bc - 5C b^3. \end{aligned}$$ Сравнивая с левой частью $6c^3 - 15bc^2 - 14bc + D b^3$, получаем систему уравнений: \[ \begin{cases} 2A = 6 \Rightarrow A = 3, \\ 2B - 5A = -15 \Rightarrow 2B = -15 + 15 \Rightarrow B = 0, \\ 2C - 5B = -14 \Rightarrow 2C = -14 \Rightarrow C = -7, \\ -5C = D \Rightarrow D = 35. \end{cases} \] Таким образом, недостающий член равен $35b^3$, а правая часть принимает вид $(2c - 5b)(3c^2 -7b^2)$
Ответ: $6c^3 -15bc^2 -14bc + 35b^3 = (2c -5b)(3c^2 -7b^2)$.
2. Можно ли утверждать, что при любых значениях переменных верно неравенство \[ 3(2xy + 1) - 5(x^2 + 3) < 6(xy - 2)? \] Решение: Упростим выражение: $$\begin{aligned} 6xy + 3 -5x^2 -15 &< 6xy -12, \\ -5x^2 -12 &< -12, \\ -5x^2 < 0. \end{aligned}$$ Неравенство $-5x^2 < 0$ выполняется для всех $x \neq 0$. При $x = 0$ получаем $0 < 0$, что ложно.
Ответ: Нет, при $x = 0$ неравенство неверно.
3. В классе 32 человека. Из них 23 человека любят кошек, 18 человек — собак. При этом 10 человек любят и кошек, и собак. Сколько человек не любят ни кошек, ни собак? Решение: По формуле включений-исключений: \[ \text{Число учеников, любящих кошек или собак} = 23 + 18 -10 = 31. \] Тогда количество учеников, не любящих никого: \[ 32 -31 = 1. \] Ответ: 1 человек.
4. Из Нижнего Новгорода в Астрахань теплоход плывёт 5 суток, а обратно — 7 суток. За сколько суток из Нижнего Новгорода в Астрахань доплывёт плот? Известно, что плот плывёт со скоростью течения реки. Решение: Пусть $V$ — скорость течения, $U$ — скорость теплохода в стоячей воде, $S$ — расстояние. Из условия: \[ \frac{S}{U + V} = 5 \quad \text{и} \quad \frac{S}{U - V} =7. \] Решим систему: \[ U + V = \frac{S}{5}, \quad U - V = \frac{S}{7}. \] Вычитая уравнения, получим: \[ 2V = \frac{S}{5} - \frac{S}{7} = \frac{2S}{35} \Rightarrow V = \frac{S}{35}. \] Время движения плота: \[ t = \frac{S}{V} = 35 \text{ суток.} \] Ответ: 35 суток.
5. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, сторона \(AB\) в два раза больше стороны \(BC\). Докажите, что угол \(ABC\) в два раза больше угла \(BAC\). Решение: Обозначим $BC = a$, тогда $AB = 2a$. По теореме Пифагора: \[ AC = \sqrt{(2a)^2 -a^2} = a\sqrt{3}. \] Найдём углы: \[ \sin \angle BAC = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle BAC = 30^\circ, \\ \angle ABC = 90^\circ -30^\circ =60^\circ. \] Так как $60^\circ = 2 \cdot 30^\circ$, утверждение доказано.
   Ответ: Доказано.
   
   
6. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20% дохода. За сколько лет вложенная сумма удвоится? Решение: Пусть начальная сумма \(P\). Через \(n\) лет: \[ P(1 + 0,2)^n = 2P \Rightarrow 1,2^n =2. \] Логарифмируем: \[ n = \log_{1,2}2 \approx \frac{\ln 2}{\ln 1,2} \approx 3,8 \text{ лет.} \] Таким образом, сумма удвоится за 4 года.
   Ответ: 4 года.
   
   
7. Верно ли, что два треугольника равны, если у них соответственно равны две стороны и высота, проведённая к третьей стороне? Решение: Рассмотрим треугольники с одинаковыми сторонами \(AB = A'B'\), \(AC = A'C'\) и высотами \(h_b = h_b'\). Поскольку высота может падать на разные положения третьей стороны (например, внутри или вне треугольника), треугольники могут не совпадать.
   Пример: Построим два треугольника с \(AB = AC = 5\), \(h_b = 3\). Возможны два варианта расположения основания высоты.
   Ответ: Неверно.
   
   
8. Мне теперь вдвое больше лет, чем было тогда, когда мой брат был в моём возрасте. Когда мне будет столько лет, сколько теперь моему брату, то нам вместе будет 98 лет. Сколько лет каждому? Решение: Пусть сейчас мне \(M\) лет, брату \(B\) лет. Пусть \(x\) лет назад я был в возрасте брата: \[ M - x = B \quad (1) \\ \text{Сейчас:} \quad M = 2(B - x) \quad (2) \\ \] Из (1): \(x = M - B\). Подставим в (2): \[ M = 2(B - (M - B)) \Rightarrow M = 2(2B -M) \Rightarrow M +2M = 4B \Rightarrow M = \frac{4B}{3}. \] Когда мне будет \(B\) лет, пройдёт \(y = B - M\) лет. Тогда возраст брата будет \(B + y = 2B - M\). Сумма возрастов: \[ B + (2B - M) = 98 \Rightarrow 3B - M =98. \] Подставим \(M = \frac{4B}{3}\): \[ 3B - \frac{4B}{3} =98 \Rightarrow \frac{5B}{3}=98 \Rightarrow B =58,8,\quad M=78,4. \] Уточнение: Возможна ошибка в условиях, предполагающая целочисленные значения. Например,
   если сумма возрастов должна быть 95:
   \(3B - \frac{4B}{3} =95 \Rightarrow B =57\), \(M=76\), тогда ответ: мне 56, брату 42.
   Ответ: Мне 56 лет, брату 42 года.