УГ МГУ. Естественнонаучное направление из 9 в 10 класс 2022 год демонстрационный вариант

1. (12 баллов) Решите неравенство \(\lvert x^2 + x\rvert \le 3x - 1.\)
2. (12 баллов) Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - x + 1 = y,\\ y^2 - y + 1 = x. \end{cases} \]
3. (14 баллов) Сторона ромба равна 4, а один из его углов равен \(150^\circ\). Найдите расстояние от центра ромба до его стороны.
4. (14 баллов) Рабочий и его ученик изготавливают одинаковые детали. На изготовление одной детали рабочий затрачивает на 6 минут меньше, чем ученик. Сколько деталей изготовят рабочий и его ученик за 7 часов, работая вместе, если рабочий за это время сделает на 8 деталей больше?
5. (18 баллов) Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника \(ABC\), если радиус вписанной в этот треугольник окружности равен \(\tfrac{9}{2}\), а длина медианы, проведённой к основанию, равна 12.
6. (14 баллов) Найдите множество значений функции \[ y = ax^2 + a^2x - 8x + 2, \] если известно, что графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а прямая \(x = 1\) является её осью симметрии.
7. (16 баллов) Группа школьников, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки 2, 3, 4 и 5. Сумма всех полученных оценок равна 93, причём троек было больше чем пятёрок и меньше, чем четвёрок. Число четвёрок делилось на 10, а число пятёрок было чётным. Определите, сколько каких оценок получили школьники.

Решения задач

1. Решите неравенство \(\lvert x^2 + x\rvert \le 3x - 1.\)
   Решение: \[\begin{cases} 3x - 1 \ge 0, \\ x^2 + x \le 3x - 1. \end{cases}\] Первое условие: \(x \ge \tfrac{1}{3}\). Второе уравнение после преобразований: \[x^2 - 2x + 1 \le 0 \implies (x - 1)^2 \le 0 \implies x = 1.\] Проверка \(1 \ge \tfrac{1}{3}\) — верно. Значение \(x = 1\) подходит.
   Ответ: 1.
2. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - x + 1 = y,\\ y^2 - y + 1 = x. \end{cases} \]
   Решение: Подставим \(y = x^2 - x + 1\) во второе уравнение: \[ (x^2 - x + 1)^2 - (x^2 - x + 1) + 1 = x. \] Раскроем скобки: \[ x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x^2 + 1)(x - 1)^2 = 0. \] Решение: \(x = 1\). Тогда \(y = 1^2 - 1 + 1 = 1\). Проверка: выполняется.
   Ответ: \((1; 1)\).
3. Сторона ромба равна 4, а один из его углов равен \(150^\circ\). Найдите расстояние от центра ромба до его стороны.
   Решение: Площадь ромба \[ S = 4^2 \sin 150^\circ = 8. \] Высота ромба: \(h = \tfrac{S}{a} = \tfrac{8}{4} = 2\). Расстояние от центра до стороны: \[ \tfrac{h}{2} = 1. \] Ответ: 1.
4. Рабочий и ученик изготавливают детали. Рабочий тратит на деталь на 6 минут меньше. Вместе за 7 часов (420 минут) они сделают:
   Решение: Пусть ученик тратит \(t\) минут, рабочий — \(t - 6\). Уравнение: \[ \tfrac{420}{t - 6} - \tfrac{420}{t} = 8 \implies t = 21,\ t - 6 = 15. \] Ученик делает \(\tfrac{420}{21} = 20\) деталей, рабочий \(\tfrac{420}{15} = 28\). Вместе: \[ 20 + 28 = 48. \] Ответ: 48 деталей.
5. Найдите радиус описанной окружности равнобедренного треугольника с радиусом вписанной окружности \(\tfrac{9}{2}\) и медианой к основанию 12.
   Решение: Пусть основание \(a\), боковые стороны \(b = \tfrac{5a}{6}\). Медиана-высота \(h = 12\): \[ 12^2 + (\tfrac{a}{2})^2 = b^2 \implies a = 18,\ b = 15.\ \] Радиус описанной окружности: \[ R = \tfrac{abc}{4S} = \tfrac{18 \cdot 15 \cdot 15}{4 \cdot 108} = \tfrac{75}{8}. \] Ответ: \(\tfrac{75}{8}\).
6. Найдите множество значений функции \(y = ax^2 + a^2x - 8x + 2\) при условии: парабола ветвями вниз, ось симметрии \(x = 1\).
   Решение: Вершина при \(x = 1\): \[ x_\text{верш} = \tfrac{8 - a^2}{2a} = 1 \implies a = -4. \] Функция: \(y = -4x^2 + 8x + 2\). Максимум при \(x = 1\): \[ y(1) = 6 \implies \text{Множество значений: } (-\infty; 6]. \] Ответ: \((-\infty; 6]\).
7. Определите количество оценок школьников: 30 человек, сумма 93. Троек > пятёрок, троек < четвёрок, число пятёрок чётное.
   Решение: Пусть двоек — \(k\), троек — \(m\), четвёрок — \(n\), пятёрок — \(p\). \[ \begin{cases} k + m + n + p = 30,\\ 2k + 3m + 4n + 5p = 93,\\ m > p,\ m < n,\\ n \div 10,\ p \text{ — чётное}. \end{cases} \] Единственное решение: \(k = 11, m = 7, n = 10, p = 2\).
   Ответ: 11 двоек, 7 троек, 10 четвёрок, 2 пятёрки.