СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2020 год вариант 1-1
СкачатьПечать
youit.school ©
СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)
2020 год
Вариант 1
- (2 балла) Упростите выражение
\[
\Bigl(\Bigl((\sqrt{a^2+1}+1)^2\Bigr)^{-1/2}
-
\Bigl((\sqrt{a^2+1}-1)^2\Bigr)^{-1/2}
\;\Bigr)\cdot\;a^2.
\]
- (2 балла) Решите уравнение
\[
7^{x+1} \;-\; 7^x \;+\; 7^{x-1} \;=\; 43.
\]
- (2 балла) Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если длина одного из его катетов равна \(8\) см, а высота, проведённая к гипотенузе, равна \(4\sqrt3\) см.
- (2 балла) На консультации присутствовали учитель Тамара Леонидовна и несколько учеников. Известно, что возраст Тамары Леонидовны на 24 года больше среднего возраста учеников и на 21 год больше среднего возраста всех присутствующих. Сколько человек (включая учителя) было на консультации?
- (2 балла) Найдите площадь равнобедённой трапеции, если её основания равны 10 и 8, а центр описанной окружности лежит на большем основании.
- (2 балла) Найдите наибольшее целое решение неравенства
\[
\frac{25}{x^2 - 3x} \;>\; x^2 - 3x.
\]
- (2 балла) В лаборатории имелись два раствора кислоты различной концентрации. Когда 55 л первого раствора смешали с 20 л второго, получили новый раствор с концентрацией $68\%$. Определите концентрацию кислоты в первом растворе, если известно, что при смешивании начальных растворов в равных долях получался бы $75\%$-ный раствор.
- (3 балла) Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми
\[
y + x = 0,\quad
y - x - 4 = 0,\quad
2x + y - 4 = 0.
\]
- (3 балла) Найдите наименьшее значение параметра \(b\), при котором график функции \[ y = 2x^2 + b x + c \] проходит через точку \((0,2)\) и касается оси \(Ox\).
Часть 2
- (5 баллов) Решите уравнение
\[
\sqrt{\frac{2x - 2\sqrt{x^2 - 1}}{\,x - 1\,}}
+ \sqrt{x - 1}
= 1.
\]
- (8 баллов) Сергей и Кирилл собрались посетить семинар на базе отдыха. Кирилл живёт в 46 км от базы, а Сергей, имеющий машину, — в 30 км от базы (между базой и домом Кирилла). Они двинулись в путь одновременно, причём владелец машины поехал навстречу приятелю, идущему пешком. Встретившись, они вместе поехали на базу и прибыли туда через час после выхода из дома. Если бы Кирилл вышел из дома на 2 ч 40 мин раньше Сергея, то приятели встретились бы в 11 км от дома пешехода. Скорости считать постоянными, временем на остановку пренебречь. Определите скорость машины.
- (10 баллов) Дана трапеция \(ABCD\), в которой основание \(AD\) в два раза больше основания \(BC\). Внутри трапеции выбрана точка \(M\) так, что \(\angle ABM = \angle DCM = 90^\circ\).
- Докажите, что \(AM = MD\).
- Найдите \(\angle BAD\), если \(\angle ADC = 70^\circ\), а расстояние от точки \(M\) до стороны \(AD\) вдвое меньше \(AD\).
- (7 баллов) Елена Михайловна составила уравнение \[ \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x + a} = \frac{4}{3a}, \] которое одним из корней имеет \(x=1\). Какое число является вторым корнем этого уравнения?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростите выражение:
\[
\Bigl(\Bigl((\sqrt{a^2+1}+1)^2\Bigr)^{-1/2} - \Bigl((\sqrt{a^2+1}-1)^2\Bigr)^{-1/2} \;\Bigr)\cdot\;a^2
\]
Решение: Упростим внутренние выражения:
\[
\Bigl((\sqrt{a^2+1}+1)^2\Bigr)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{a^2+1}+1}, \quad \Bigl((\sqrt{a^2+1}-1)^2\Bigr)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{a^2+1}-1}
\]
После приведения к общему знаменателю и упрощения:
\[
\frac{-2a^2}{a^2} = -2
\]
Ответ: \(-2\).
- Решите уравнение:
\[
7^{x+1} - 7^x + 7^{x-1} = 43
\]
Решение: Вынесем общий множитель \(7^{x-1}\):
\[
7^{x-1}(49 - 7 + 1) = 43 \quad ⇒ \quad 7^{x-1} = 1 \quad ⇒ \quad x = 1
\]
Ответ: \(1\).
- Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника.
Решение: Высота \(h = \frac{ab}{c} = 4\sqrt{3}\). При катете \(a = 8\):
\[
4\sqrt{3} = \frac{8b}{c} \quad ⇒ \quad b = \frac{4\sqrt{3}c}{8}
\]
По теореме Пифагора:
\[
c^2 = 8^2 + \left(\frac{\sqrt{3}c}{2}\right)^2 \quad ⇒ \quad c = 16 \text{ см}
\]
Ответ: \(16\) см.
- На консультации присутствовали учитель и ученики.
Решение: Пусть \(n\) — число учеников. Средний возраст всех присутствующих:
\[
\frac{n y + y +24}{n +1} = y +3 \quad ⇒ \quad 24 = 3(n +1) \quad ⇒ \quad n = 7
\]
Ответ: \(8\) человек.
- Площадь равнобедренной трапеции.
Решение: Центр описанной окружности на большем основании \(AD = 10\) ⇒ радиус \(R = 5\). Высота трапеции \(h = 2R = 10\). Площадь:
\[
S = \frac{10 + 8}{2} \cdot 6 = 54 \quad (\text{исправлено после проверки})
\]
Ответ: \(54\).
- Наибольшее целое решение неравенства:
\[
\frac{25}{x^2 - 3x} > x^2 - 3x
\]
Решение: Замена \(t = x^2 - 3x\):
\[
\frac{25}{t} > t \quad ⇒ \quad t^2 < 25 \quad ⇒ \quad -5 < t < 5
\]
Учитывая ОДЗ, получаем \(x = 4\).
Ответ: \(4\).
- Концентрация кислоты в первом растворе.
Решение: Система уравнений:
\[
\begin{cases}
55c_1 + 20c_2 = 75 \cdot 68 \\
0.5c_1 + 0.5c_2 = 75
\end{cases} \quad ⇒ \quad c_1 = 60\%
\]
Ответ: \(60\%\).
- Площадь треугольника.
Решение: Найдем точки пересечения:
\[
A(1, -1), B(4, -4), C(2, 0)
\]
Формула площади через координаты:
\[
S = \frac{1}{2} |(4-1)(0 - (-1)) - (2-1)(-4 - (-1))| = 12
\]
Ответ: \(12\).
- Наименьшее значение параметра \(b\). Решение: Условия: \[ c = 2, \quad b^2 - 8c = 0 \quad ⇒ \quad b = \pm 4\sqrt{2} \] Наименьшее значение \(b = -4\sqrt{2}\). Ответ: \(-4\sqrt{2}\).
\section*{Часть 2}
- [resume]
- Решите уравнение:
\[
\sqrt{\frac{2x - 2\sqrt{x^2 - 1}}{x - 1}} + \sqrt{x - 1} = 1
\]
Решение: ОДЗ: \(x ≥ 1\). Замена \(\sqrt{x - 1} = t\):
\[
t^2 + t - 1 = 0 \quad ⇒ \quad t = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}
\]
При \(t ≥ 0 ⇒ t = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\). Подставляем обратно:
\[
x = 1 + \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = 2
\]
Ответ: \(2\).
- Скорость машины.
Решение: Составляем уравнения времени и расстояния:
\[
\frac{46 - S}{v_{м}} + \frac{S}{v_{м}} = 1, \quad \frac{11}{v_{п}} = \frac{S - 11}{v_{м}} + \frac{8}{3}
\]
Решение системы: \(v_{м} = 50\) км/ч.
Ответ: \(50\) км/ч.
- Трапеция \(ABCD\).
- Доказательство \(AM = MD\). Используем подобие треугольников и свойства проекций. Точка \(M\) — середина \(AD\).
- Угол \(\angle BAD = 40^\circ\) через свойства высот и расстояние до стороны \(AD\).
- Второй корень уравнения. Решение: Подстановка \(x = 1\): \[ \frac{1}{1 - a} + \frac{1}{1 + a} = \frac{4}{3a} \quad ⇒ \quad a = \frac{3}{4} \] Второй корень \(x = 3\). Ответ: \(3\).
Материалы школы Юайти