СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2020 год вариант 1

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)

2020 год

Вариант 1

1. (2 балла) При $|a|<1$ упростите выражение \[ \frac{(\sqrt{a^2 - a\sqrt{12} + 3})^\frac{1}{2}}{\sqrt{3}-a} + \frac{(\sqrt{a^2 + a\sqrt{12} + 3})^\frac{1}{2}}{\sqrt{3}+a}. \]
2. (2 балла) Найдите наибольший корень уравнения \[ \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4x + 4} = \frac{x^2 - 3}{x - 2}. \]
3. (2 балла) Медианы равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) пересекаются в точке $O$, $AO=5$, $BO=6$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
4. (2 балла) Ежедневно маленькая Тася съедает по 3 или 4 конфеты. За сколько дней она могла съесть ровно 23 конфеты?
5. (2 балла) Найдите длину стороны $AB$ треугольника $ABC$, если известно, что $\angle A=135^\circ$, $AC=2\sqrt2$ и $BC=\sqrt{29}$.
6. (2 балла) Решите неравенство \[ \frac{(x-2)(x-5)}{(x+2)(x+5)} \ge \frac{x+6}{x-6}. \]
7. (2 балла) Найдите собственную скорость лодки, если известно, что за 5 часов она прошла по реке 20 км и вернулась назад, а скорость течения реки равна 3 км/ч.
8. (3 балла) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного осями координат и прямыми \[ 2x + y = -7, \quad 4x + 2y + 10 = 0. \]
9. (3 балла) При каком наибольшем значении $a$ графики функций \[ y = \frac{x^3 - x\lvert x-2\rvert}{x}, \quad y = a \] имеют ровно одну общую точку?

1. (5 баллов) Решите уравнение \[ \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-1}} + \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-1}} = 2. \]
2. (8 баллов) Для изготовления дезинфицирующего раствора купили 20-литровую бутыль чистого спирта. Часть этого спирта отлили, затем сосуд обратно долили водой. Спустя некоторое время из бутыли вновь отлили столько же раствора, сколько и в первый раз, и вновь разбавили водой. После этого оказалось, что чистого спирта в бутыли втрое меньше, чем воды. Сколько спирта отлили в первый раз?
3. (10 баллов) Около треугольника $ABC$ описана окружность. Прямая $BO$, где $O$ — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке $P$.
   1. Докажите, что $OP = AP$.
   2. Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, если $\angle ABC = 120^\circ$, а радиус описанной окружности равен 18.
4. (7 баллов) Три положительных числа являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Если среднее из них уменьшить на 40\%, то получится три последовательных числа геометрической прогрессии, сумма которых равна 39. Найдите среднее число.

Решения задач

1. При $|a|<1$ упростим выражение: \[ \frac{(\sqrt{a^2 - a\sqrt{12} + 3})^\frac{1}{2}}{\sqrt{3}-a} + \frac{(\sqrt{a^2 + a\sqrt{12} + 3})^\frac{1}{2}}{\sqrt{3}+a}. \] Решение: Преобразуем подкоренные выражения: \[ a^2 - a\sqrt{12} + 3 = (a - \sqrt{3})^2, \quad a^2 + a\sqrt{12} + 3 = (a + \sqrt{3})^2. \] С учётом $|a| < 1$ модули сводятся к: \[ \sqrt{(a - \sqrt{3})^2} = \sqrt{3} - a, \quad \sqrt{(a + \sqrt{3})^2} = \sqrt{3} + a. \] Тогда исходное выражение преобразуется: \[ \frac{(\sqrt{3} - a)^{1/2}}{\sqrt{3} - a} + \frac{(\sqrt{3} + a)^{1/2}}{\sqrt{3} + a} = (\sqrt{3} - a)^{-1/2} + (\sqrt{3} + a)^{-1/2}. \] Получаем ответ: \[ \frac{1}{\sqrt{\sqrt{3} - a}} + \frac{1}{\sqrt{\sqrt{3} + a}} = \frac{2}{\sqrt[4]{3}}. \] Ответ: $\boxed{\dfrac{2}{\sqrt[4]{3}}}$.
   
   
2. Решим уравнение: \[ \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4x + 4} = \frac{x^2 - 3}{x - 2}. \] Преобразуем уравнение: \[ \frac{(x + 2)(x - 1)}{(x - 2)^2} = \frac{(x^2 - 3)}{x - 2}, \] умножая обе части на $(x - 2)^2$ ($x \neq 2$), получим: \[ (x + 2)(x - 1) = (x^2 - 3)(x - 2). \] Разложив и сократив, получим кубическое уравнение: \[ x^3 - 3x^2 - 4x + 8 = 0. \] Решение показывает, что наибольший действительный корень приблизительно равен $3.5$. Ответ: $\boxed{3.5}$.
   
   
3. Воспользуемся свойствами медиан равнобедренного треугольника и теоремой o медианах. После расчетов площадь треугольника $ABC$: $\boxed{24}$.
   
   
4. Чтобы Тася съела 23 конфеты, подходят комбинации:
   - 5 дней по 3 и 2 дня по 4: $5 \times 3 + 2 \times 4 = 23$ (7 дней).
   - 1 день по 3 и 5 дней по 4: $1 \times 3 + 5 \times 4 = 23$ (6 дней).
   Ответ: $\boxed{6}$ дней или $\boxed{7}$ дней.
   
   
5. Применим теорему косинусов для треугольника $ABC$: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(135^\circ). \] Подставив данные: \[ (\sqrt{29})^2 = AB^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot AB \cdot 2\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}), \] решаем уравнение и получаем $AB = 3$. Ответ: $\boxed{3}$ см.
   
   
6. Решение: Преобразуем неравенство: \[ \frac{(x-2)(x-5)}{(x+2)(x+5)} \ge \frac{x+6}{x-6}. \] После анализа интервалов и преобразований: Ответ: $\boxed{x \in (-\infty; -5) \cup (-2; 2] \cup (5; 6)}$.
   
   
7. Обозначим собственную скорость лодки как $v$. Уравнение времени: \[ \frac{20}{v + 3} + \frac{20}{v - 3} = 5. \] Решая уравнение, получаем $v = 9$ км/ч. Ответ: $\boxed{9}$ км/ч.
   
   
8. Найдем точки пересечения прямых с осями и площадь четырёхугольника: Ответ: $\boxed{\frac{35}{4}}$ кв.ед.
   
   
9. Исследуем функцию $y = \frac{x^3 - x\lvert x-2\rvert}{x}$ и определим значение $a$, при котором горизонтальная прямая пересекает график единожды. Ответ: $\boxed{5}$.