8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2019 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 05.2019
СкачатьПечать
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2019 год


Вариант 2



  1. Решите уравнение \[ \sqrt{\frac{x}{\,}}^2 = (-x)^2. \] (Баллов: 2)

  2. Отдел технического контроля проверил 80% изготовленных заводом деталей и обнаружил, что 90% из них качественные, а остальные бракованные. Сколько процентов качественных деталей изготовил завод, если все непроверенные детали качественные? (Баллов: 2)

  3. Решите уравнение \[ 2 - \sqrt[3]{x} = 8 - x. \] (Баллов: 2)

  4. Площадь трапеции равна 25, а сумма длин оснований трапеции в 9 раз больше радиуса вписанной в эту трапецию окружности. Найдите сумму длин боковых сторон этой трапеции. (Баллов: 2)

  5. В некоторой школе всего 53 учителя. 2% всех учителей-женщин увлекаются волейболом. Сколько в этой школе учителей-мужчин? (Баллов: 2)

  6. В треугольнике \(PQR\) проведена высота \(RH\), точка \(H\) лежит на отрезке \(PQ\). Длины отрезков \(PH\), \(RH\) и \(QH\) (именно в таком порядке) являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите сумму величин углов \(P\) и \(Q\). (Баллов: 2)

  7. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством \[ |x| - 3 \le y \le 6 - |x|. \] (Баллов: 2)

  8. Точка \(K\) — середина стороны \(CD\) квадрата \(ABCD\). Найдите косинус угла между прямыми \(AC\) и \(BK\). (Баллов: 3)

  9. Аня исследовала свойства арифметической прогрессии с первым членом 6 и разностью 8. Она записала 2019 её членов (с первого по порядку), а затем все записанные числа перемножила. Найдите остаток от деления полученного произведения на 403. (Баллов: 3)

  10. Найдите все пары чисел \((a,b)\), удовлетворяющих уравнению \[ a^2 + 3|a + b - 8| + 9b^2 = -6ab. \] (Баллов: 3)

  11. Функция \(f(x) = ax^2 + bx + c\) обладает двумя свойствами: для любых \(k\) и \(x\) выполняется равенство \(f(kx)=kf(x)\) и, кроме того, \(f(3)=21\). Найдите \(a\), \(b\) и \(c\). (Баллов: 3)

  12. Тамара написала на доске 128 целых чисел. Марина сложила все эти числа, а Кирилл перемножил их. У Марины получился 0, а у Кирилла \(-1\). Докажите, что кто-то из них ошибся. (Баллов: 5)

  13. Известно, что \(a\) — целое число и один из корней уравнения \[ x^2 + 35x - 7a = 0 \] — простое число. Найдите \(a\). (Баллов: 6)

  14. Бумажный прямоугольник \(KLMN\) размерами \(1\times2\) согнули так, что точка \(K\) совместилась с точкой \(M\). Найдите периметр треугольника, образованного двойным слоем бумаги. (Баллов: 6)
  15. Известно, что ни при каком значении \(x\) равенство \[ \frac{5x - 1}{bx + 2} = 3 \] не является верным. Найдите \(b\). (Баллов: 7)
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение \[ \sqrt{\frac{x}{\,}}^2 = (-x)^2. \] Решение: Уравнение эквивалентно \(x = x^2\). Корни: \(x = 0\) и \(x = 1\) (все корни удовлетворяют области определения \(x \geq 0\)).
    Ответ: 0; 1.
  2. Отдел технического контроля проверил 80% изготовленных деталей, обнаружив 90% качественных. Все непроверенные детали качественные. Сколько процентов качественных деталей изготовил завод?
    Решение: Пусть всего деталей \(N\). Проверено \(0,8N\), качественных \(0,9 \cdot 0,8N = 0,72N\). Непроверено \(0,2N\), все качественные. Общее качественных: \(0,72N + 0,2N = 0,92N\).
    Ответ: 92\%.
  3. Решите уравнение \[ 2 - \sqrt[3]{x} = 8 - x. \] Решение: Замена \(y = \sqrt[3]{x}\) приводит к уравнению \(y^3 - y - 6 = 0\). Корень \(y = 2\), откуда \(x = 8\).
    Ответ: 8.
  4. Сумма оснований трапеции в 9 раз больше радиуса вписанной окружности, площадь трапеции 25. Найдите сумму боковых сторон.
    Решение: Условие вписанной окружности: \(a + b = c + d\). Сумма оснований \(a + b = 9r\), радиус \(r = \frac{h}{2}\). Площадь: \(\frac{9r}{2} \cdot h = 25\). Решение даёт \(a + b = 15\sqrt{2}\).
    Ответ: \(15\sqrt{2}\).
  5. В школе 53 учителя. 2% учителей-женщин увлекаются волейболом. Найдите число учителей-мужчин.
    Решение: Число женщин должно быть кратно 50 (2% = \(\frac{1}{50}\)). Тогда женщин 50, мужчин \(53 - 50 = 3\).
    Ответ: 3.
  6. В треугольнике \(PQR\) отрезки \(PH\), \(RH\), \(QH\) образуют геометрическую прогрессию. Найдите сумму углов \(P\) и \(Q\).
    Решение: Из условия получаем соотношения для геометрической прогрессии, приводящие к \(\angle P + \angle Q = 90^\circ\).
    Ответ: \(90^\circ\).
  7. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством \[ |x| - 3 \le y \le 6 - |x|. \] Решение: Фигура ограничена "галочкой" \(y = |x| - 3\) и \(y = 6 - |x|\). Точки пересечения: \(|x| = 4,5\). Интегрирование даёт площадь \(81\).
    Ответ: 81.
  8. Точка \(K\) — середина стороны \(CD\) квадрата \(ABCD\). Косинус угла между прямыми \(AC\) и \(BK\).
    Решение: Координатный метод. Принимая сторону квадрата 2, находим векторы и вычисляем косинус угла: \(\frac{2}{\sqrt{10}}\).
    Ответ: \(\frac{2}{\sqrt{10}}\).
  9. Найдите остаток от деления произведения 2019 членов арифметической прогрессии на 403.
    Решение: Прогрессия содержит числа вида \(6 + 8k\). Чётность числа членов приводит к нулевому произведению по модулю 403.
    Ответ: 0.
  10. Решите уравнение \(a^2 + 3|a + b - 8| + 9b^2 = -6ab\).
    Решение: Преобразование к полному квадрату: \( (a + 3b)^2 + 3|a + b - 8| = 0 \). Решение \(a = 6\), \(b = -2\).
    Ответ: \(a = 6\), \(b = -2\).
  11. Найдите коэффициенты функции \(f(x) = ax^2 + bx + c\), удовлетворяющей условию \(f(kx)=kf(x)\) и \(f(3)=21\).
    Решение: Подстановка условия в уравнение приводит к системе, решением которой \(a = 0\), \(b = 7\), \(c = 0\).
    Ответ: \(a = 0\), \(b = 7\), \(c = 0\).
  12. Докажите, что сумма 128 чисел не может быть нулём при произведении \(-1\).
    Решение: Чётное количество отрицательных чисел даёт положительное произведение. Нечётное даст отрицательное. Сумма нуль возможна с чётным числом отрицательных чисел. Противоречие.
  13. Найдите \(a\), если корень уравнения \(x^2 + 35x - 7a = 0\) — простое число.
    Решение: Пусть простое число \(p\). Из уравнения \(p^2 + 35p = 7a\). Тогда \(a = \frac{p(p + 35)}{7}\). Простые \(p = 7\) даёт целое \(a = 42\).
    Ответ: 42.
  14. Периметр треугольника после сгибания прямоугольника \(1 \times 2\).
    Решение: После сгибания образуется равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами \(\sqrt{2}\). Периметр: \(2 + \sqrt{2}\).
    Ответ: \(2 + \sqrt{2}\).
  15. Найдите \(b\), при котором уравнение \(\frac{5x - 1}{bx + 2} = 3\) не имеет решений.
    Решение: Преобразование уравнения приводит к \(5x - 1 = 3bx + 6\). Для отсутствия решений коэффициенты при \(x\) равны, а свободные члены нет: \(5 = 3b\), \( -1 \neq 6\). Ответ \(b = \frac{5}{3}\).
    Ответ: \(\frac{5}{3}\).
Материалы школы Юайти