СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1-2
СкачатьПечать
youit.school ©
СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)
2019 год
Вариант 1
- (2 балла) На столе стояли вазочки с одинаковым количеством конфет. Маша съела 30% от 20% конфет, находящихся в первой вазочке, а Катя – 10% от 60% конфет из второй. Какая из девочек съела больше конфет?
- (2 балла) Вычислите: \[ \frac{\frac{1}{3^2} \cdot \Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^5 \cdot2^{n+1}}{2^{n-1} \cdot \frac{1}{27} \cdot 2^{-1}}. \]
- (2 балла) Определите цифру, заменённую «*», если известно, что число $17391871{*}$ делится на 12 без остатка.
- (2 балла) Две равные окружности касаются внешним образом. Найдите угол между их общей внешней касательной и прямой, проходящей через центр одной из окружностей и касающейся второй.
- (2 балла) Найдите область определения функции \[ y = \frac{\sqrt{10 - x^2 - 3x}}{\sqrt{1 - x}}. \]
- (2 балла) Параллельные прямые $AB$ и $CD$ пересечены прямой $BD$ так, что биссектрисы углов $\angle ABD$ и $\angle BDC$ пересекаются в точке $K$, причём $BD = 2BK$. Найдите величину угла $\angle BDC$.
- (2 балла) Тринадцатый член арифметической прогрессии равен 5. Найдите сумму первых 25 её членов.
- (2 балла) Найдите все значения $a$, при которых равенство \[ x\Bigl(4 - \tfrac{14}{a + 1}\Bigr) = \frac{10x + 8a + 8}{a + 1} - 8 \] верно при любых действительных $x$.
- (2 балла) Найдите произведение всех корней уравнения \[ \bigl|\,1 - \bigl|x^2 - 6\bigr|\,\bigr| = 2. \]
- (2 балла) Найдите координаты всех точек пересечения графиков функций \[ y = \sqrt{x - 3}, \quad y + 5 = x. \]
- (6 баллов) Имеются два сплава с золотом. В первом сплаве содержится 35%, а во втором – 60% золота. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы получить новый сплав, содержащий 40% золота?
- (6 баллов) Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Сумма оснований $AD$ и $BC$ равна 4,8 см, а высота трапеции равна 4 см. Найдите площади треугольников $BOC$ и $AOD$, если отношение периметров этих треугольников равно 1 : 3.
- (10 баллов) Решите уравнение \[ (1 + x + x^2)^2 = \tfrac{7}{3}\,(1 + x^2 + x^4). \]
- (8 баллов) На плоскости $Oxy$ изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению \[ y^2 - 4x^2 = (y + 2x)(y - x - 4). \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Петя решил $30\%$ от $40\%$ задач: $0,3 \cdot 0,4 = 0,12$ (12\%).
Ваня решил $60\%$ от $20\%$ задач: $0,6 \cdot 0,2 = 0,12$ (12\%).
Ответ: Одинаково.
- Упрощаем выражение:
\[
\frac{1}{8} \cdot 2^{n+1} \cdot 3^{-5} \cdot 2^{2n-1} \cdot 2^{-4} \cdot 3^{-4} = 2^{3n-7} \cdot 3^{-9}
\]
Ответ: \(2^{3n-7} \cdot 3^{-9}\).
- Для делимости на 12 сумма цифр должна делиться на 3, а последние две цифры — на 4. Сумма цифр: \(35 + *\), подходит \(* = 4\) (39).
Ответ: 4.
- Угол между касательной и линией центров равен \(30^{\circ}\) в прямоугольном треугольнике.
Ответ: \(30^{\circ}\).
- Область определения:
\[
\begin{cases}
4x - x^2 + 21 \geq 0 \Rightarrow x \in [-3, 7], \\
5 - x > 0 \Rightarrow x < 5.
\end{cases}
\]
Ответ: \([-3; 5)\).
- Из свойств биссектрис и параллельности \(\angle BDC = 60^{\circ}\).
Ответ: \(60^{\circ}\).
- Сумма первых 25 членов: \(S_{25} = 25 \cdot a_{13} = 25 \cdot 5 = 125\).
Ответ: 125.
- После преобразований уравнение верно при \(a = 5\).
Ответ: 5.
- Корни уравнения: \(\pm 3, \pm \sqrt{3}\). Произведение: \(27\).
Ответ: 27.
- Точка пересечения: \((\sqrt{x-3} = x - 5)\) имеет решение \(x = 7\), \(y = 2\).
Ответ: \((7; 2)\).
- Соотношение растворов: \(k = 3:1\).
Ответ: \(3:1\).
- Используя подобие треугольников, площади \(S_{BOC} = 2{,}4 \, \text{см}^2\), \(S_{AOD} = 21{,}6 \, \text{см}^2\).
Ответ: \(2{,}4 \, \text{см}^2\) и \(21{,}6 \, \text{см}^2\).
- Решение уравнения: \(x = 2\), \(x = \frac{1}{2}\), \(x = -1 \pm i\).
Ответ: \(2\), \(\frac{1}{2}\), \(-1 \pm i\).
- Преобразуем уравнение до \(-2x^2 - xy + 4y + 8x = 0\). График — гипербола и прямые.
Ответ: Гипербола и две пересекающиеся прямые.
Материалы школы Юайти