8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1-1

Сложность:
Дата экзамена: 05.2019
СкачатьПечать
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2019 год


Вариант 1



  1. (2 балла) На столе стояли вазочки с одинаковым количеством конфет. Маша съела 30% от 20% конфет, находящихся в первой вазочке, а Катя – 10% от 60% конфет из второй. Какая из девочек съела больше конфет?
  2. (2 балла) Вычислите: \[ \frac{\frac{1}{3^2} \cdot \Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^5 \cdot2^{n+1}}{2^{n-1} \cdot \frac{1}{27} \cdot 2^{-1}}. \]
  3. (2 балла) Определите цифру, заменённую «*», если известно, что число $17391871{*}$ делится на 12 без остатка.
  4. (2 балла) Две равные окружности касаются внешним образом. Найдите угол между их общей внешней касательной и прямой, проходящей через центр одной из окружностей и касающейся второй.
  5. (2 балла) Найдите область определения функции \[ y = \frac{\sqrt{10 - x^2 - 3x}}{\sqrt{1 - x}}. \]
  6. (2 балла) Параллельные прямые $AB$ и $CD$ пересечены прямой $BD$ так, что биссектрисы углов $\angle ABD$ и $\angle BDC$ пересекаются в точке $K$, причём $BD = 2BK$. Найдите величину угла $\angle BDC$.
  7. (2 балла) Тринадцатый член арифметической прогрессии равен 5. Найдите сумму первых 25 её членов.
  8. (2 балла) Найдите все значения $a$, при которых равенство \[ x\Bigl(4 - \tfrac{14}{a + 1}\Bigr) = \frac{10x + 8a + 8}{a + 1} - 8 \] верно при любых действительных $x$.
  9. (2 балла) Найдите произведение всех корней уравнения \[ \bigl|\,1 - \bigl|x^2 - 6\bigr|\,\bigr| = 2. \]
  10. (2 балла) Найдите координаты всех точек пересечения графиков функций \[ y = \sqrt{x - 3}, \quad y + 5 = x. \]
  11. (6 баллов) Имеются два сплава с золотом. В первом сплаве содержится 35\%, а во втором – 60% золота. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы получить новый сплав, содержащий 40% золота?
  12. (6 баллов) Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Сумма оснований $AD$ и $BC$ равна 4,8 см, а высота трапеции равна 4 см. Найдите площади треугольников $BOC$ и $AOD$, если отношение периметров этих треугольников равно 1 : 3.
  13. (10 баллов) Решите уравнение \[ (1 + x + x^2)^2 = \tfrac{7}{3}\,(1 + x^2 + x^4). \]
  14. (8 баллов) На плоскости $Oxy$ изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению \[ y^2 - 4x^2 = (y + 2x)(y - x - 4). \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. На столе стояли вазочки с одинаковым количеством конфет. Маша съела 30% от 20% конфет, находящихся в первой вазочке, а Катя – 10% от 60% конфет из второй. Какая из девочек съела больше конфет?
    Решение: Пусть в каждой вазочке $N$ конфет.
    Маша съела: $0,3 \cdot 0,2N = 0,06N$ конфет.
    Катя съела: $0,1 \cdot 0,6N = 0,06N$ конфет.
    Ответ: Обе съели одинаково.

  2. Вычислите: \[ \frac{\frac{1}{3^2} \cdot \Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^5 \cdot2^{n+1}}{2^{n-1} \cdot \frac{1}{27} \cdot 2^{-1}} \]
    Решение:
    Числитель: $3^{-2} \cdot 3^{-5} \cdot 2^{n+1} = 3^{-7} \cdot 2^{n+1}$
    Знаменатель: $2^{n-1} \cdot 3^{-3} \cdot 2^{-1} = 2^{n-2} \cdot 3^{-3}$
    Ответ: $\frac{3^{-7} \cdot 2^{n+1}}{2^{n-2} \cdot 3^{-3}} = \frac{8}{81}$.

  3. Определите цифру, заменённую «*», если известно, что число $17391871{*}$ делится на 12 без остатка.
    Решение: Для делимости на 12 число должно делиться на 3 и 4.
    Проверка на 4: Последние две цифры $1{*}$ должны делиться на 4. Возможные варианты: 12 или 16 $\Rightarrow{*}=2$ или $6$.
    Проверка на 3: Сумма цифр $1+7+3+9+1+8+7+1+{*} = 37 + {*}$ должна делиться на 3.
    Для ${*} = 2: 37 + 2 = 39$ (делится).
    Ответ: 2.

  4. Две равные окружности касаются внешним образом. Найдите угол между их общей внешней касательной и прямой, проходящей через центр одной из окружностей и касающейся второй.
    Решение: Радиусы окружностей равны $r$, расстояние между центрами $2r$. Угол между касательной и линией центров равен $30^{\circ}$. Ответ: $30^{\circ}$.

  5. Найдите область определения функции \[ y = \frac{\sqrt{10 - x^2 - 3x}}{\sqrt{1 - x}}. \]
    Решение:
    $\begin{cases} 10 - x^2 - 3x \geq 0 \\ 1 - x > 0 \\ 1 - x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow x \in [-5;2] \cap (-\infty;1) \Rightarrow \mathbf{[-5;1)}$.

  6. Параллельные прямые $AB$ и $CD$ пересечены прямой $BD$. Биссектрисы углов $\angle ABD$ и $\angle BDC$ пересекаются в точке $K$, причём $BD = 2BK$. Найдите величину угла $\angle BDC$.
    Решение: Пусть $\angle BDC = \alpha$. Используя свойства биссектрис и соотношение $BD = 2BK$, получаем $\alpha = 60^{\circ}$. Ответ: $60^{\circ}$.

  7. Тринадцатый член арифметической прогрессии равен 5. Найдите сумму первых 25 её членов.
    Решение: $a_{13} = 5 = \frac{a_1 + a_{25}}{2} \Rightarrow S_{25} = \frac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = 5 \cdot 25 = 125$. Ответ: 125.

  8. Найдите все значения $a$, при которых равенство \[ x\Bigl(4 - \tfrac{14}{a + 1}\Bigr) = \frac{10x + 8a + 8}{a + 1} - 8 \] верно при любых действительных $x$.
    Решение: Приведя уравнение к виду $\frac{10x}{a+1} = x\left(4 - \frac{14}{a+1}\right)$, получаем $a = 5$. Ответ: 5.

  9. Найдите произведение всех корней уравнения \[ \bigl|\,1 - \bigl|x^2 - 6\bigr|\,\bigr| = 2. \]
    Решение: Корни уравнения: $\pm3, \pm\sqrt{3}$. Произведение: $(3)(-3)(\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = 9 \cdot 3 = 27$. Ответ: 27.

  10. Найдите координаты всех точек пересечения графиков функций \[ y = \sqrt{x - 3}, \quad y + 5 = x. \]
    Решение: $\sqrt{x - 3} = x - 5 \Rightarrow x = 7$ (проверка: $\sqrt{4} = 2$). Ответ: $(7;2)$.

  11. Имеются два сплава с золотом. В первом сплаве содержится 35\%, а во втором – 60% золота. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы получить новый сплав, содержащий 40% золота?
    Решение: Пусть масса первого сплава $x$, второго $y$. Уравнение: $0,35x + 0,6y = 0,4(x + y) \Rightarrow \frac{x}{y} = 4:1$. Ответ: 4:1.

  12. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Сумма оснований $AD$ и $BC$ равна 4,8 см, а высота трапеции равна 4 см. Найдите площади треугольников $BOC$ и $AOD$, если отношение периметров этих треугольников равно 1:3.
    Решение: Коэффициент подобия треугольников $BOC$ и $AOD$ равен 1:3. Площади относятся как $1^2:3^2 = 1:9$. Используя данные задачи: площади $\mathbf{0,64 \text{ см}^2}$ и $\mathbf{5,76 \text{ см}^2}$.

  13. Решите уравнение \[ (1 + x + x^2)^2 = \tfrac{7}{3}\,(1 + x^2 + x^4). \]
    Решение: Раскрыв скобки и упростив, получаем $x = \pm1, \pm2$. Ответ: $x = \pm1, \pm2$.

  14. На плоскости $Oxy$ изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению \[ y^2 - 4x^2 = (y + 2x)(y - x - 4). \]
    Решение: Преобразуем уравнение: $y^2 -4x^2 = y^2 -xy -4y + 2xy + 2x^2 -8x \Rightarrow -6x^2 + xy +4y +8x =0$. Разложив на множители: $(y - 2x)(y + 2x +4) =0$. Ответ: Объединение прямых $y = 2x$ и $y = -2x -4$.
Материалы школы Юайти