СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1
СкачатьПечать
youit.school ©
СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)
2019 год
Вариант 1
- Решите уравнение
\[
-x \big/\sqrt{x^2} = x^2.
\]
(Баллов: 2)
- В выборах участвовали два кандидата — Иванов и Петров. По итогам обработки 60% избирательных бюллетеней оказалось, что Иванов получил 20% голосов избирателей. Сколько процентов голосов получит Иванов по итогам обработки всех бюллетеней, если во всех оставшихся бюллетенях голоса будут отданы за Иванова? (Баллов: 2)
- Решите уравнение
\[
\sqrt[3]{x} - 3 = x - 27.
\]
(Баллов: 2)
- Площадь трапеции равна 16, а радиус вписанной в эту трапецию окружности в 9 раз меньше суммы длин боковых сторон трапеции. Найдите сумму длин оснований этой трапеции. (Баллов: 2)
- В некотором классе учится 26 человек. 5% мальчиков класса обожают селедку. Сколько в классе девочек? (Баллов: 2)
- В треугольнике \(ABC\) проведена высота \(CH\), точка \(H\) лежит на отрезке \(AB\). Длины отрезков \(AH\), \(CH\) и \(BH\) (именно в таком порядке) являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите величину угла \(C\). (Баллов: 2)
- Найдите площадь фигуры, заданной неравенством
\[
|x| - 1 \le y \le 4 - |x|.
\]
(Баллов: 2)
- Точка \(K\) — середина стороны \(AB\) квадрата \(ABCD\). Найдите косинус угла между прямыми \(KC\) и \(DB\). (Баллов: 3)
- Ваня исследовал свойства арифметической прогрессии с первым членом 2 и разностью 6. Он записал 2019 её членов (с первого по порядку), а затем все записанные числа перемножил. Найдите остаток от деления полученного произведения на 301. (Баллов: 3)
- Найдите все пары чисел \((x,y)\), удовлетворяющих уравнению
\[
x^2 + 2|x + y - 6| + 4y^2 = 4xy.
\]
(Баллов: 3)
- Функция \(f(x) = ax^2 + bx + c\) обладает двумя свойствами: для любых \(x\) и \(y\) выполняется равенство \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) и, кроме того, \(f(4)=12\). Найдите \(a\), \(b\) и \(c\). (Баллов: 3)
- Вася написал на доске 106 целых чисел. Петя перемножил все эти числа, а Коля сложил их. У Пети получилось 1, а у Коли 0. Докажите, что кто-то из них ошибся. (Баллов: 5)
- Известно, что \(b\) — целое число и один из корней уравнения
\[
x^2 + 33x - 11b = 0
\]
— простое число. Найдите \(b\). (Баллов: 6)
- Бумажный прямоугольник \(ABCD\) размерами \(1\times 2\) согнули так, что точка \(A\) совместилась с точкой \(C\). Найдите площадь треугольника, образованного двойным слоем бумаги. (Баллов: 6)
- Известно, что ни при каком значении \(x\) равенство \[ \frac{8x - 2}{ax + 3}=2 \] не является верным. Найдите \(a\). (Баллов: 7)
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение:
\[
-x \big/ \sqrt{x^2} = x^2.
\]
Решение:
\begin{align}
&\sqrt{x^2} = |x| \\
&\text{При } x > 0: -x/x = -1 \neq x^2 \text{ (нет решений)} \\
&\text{При } x < 0: -x/(-x) = 1 = x^2 \Rightarrow x = -1 \\
&\text{Ответ: } \boxed{-1}.
\end{align}
- В выборах участвовали два кандидата — Иванов и Петров. По итогам обработки 60% бюллетеней Иванов получил 20% голосов. Сколько процентов голосов получит Иванов после обработки всех бюллетеней?
Решение:
\begin{align}
&\text{Пусть всего } N \text{ бюллетеней}. \\
&\text{Обработано: } 0{,}6N. \text{ Иванов: } 0{,}2 \cdot 0{,}6N = 0{,}12N. \\
&\text{Оставшиеся } 0{,}4N \text{ все за Иванова}. \\
&\text{Общий результат: } 0{,}12N + 0{,}4N = 0{,}52N \Rightarrow 52\%. \\
&\text{Ответ: } \boxed{52}.
\end{align}
- Решите уравнение:
\[
\sqrt[3]{x} - 3 = x - 27.
\]
Решение:
\begin{align}
&\text{Подстановка } x = 27: \\
&\sqrt[3]{27} - 3 = 27 - 27 \Rightarrow 3 - 3 = 0 \Rightarrow 0 = 0. \\
&\text{Ответ: } \boxed{27}.
\end{align}
- Площадь трапеции равна 16, радиус вписанной окружности равен $\frac{\text{сумма боковых сторон}}{9}$. Найдите сумму длин оснований.
Решение:
\begin{align}
&\text{Формула радиуса: } r = \frac{S}{a + b}. \\
&\text{По условию: } \frac{S}{a + b} = \frac{c + d}{9}. \\
&\text{По свойству трапеции с вписанной окружностью: } a + b = c + d. \\
&a + b = \boxed{12}.
\end{align}
- В классе 26 человек. 5% мальчиков обожают селедку. Сколько девочек в классе?
Решение:
\begin{align}
&\text{Количество мальчиков кратно 20, так как 5% должно быть целым.} \\
&\text{Единственный вариант: 20 мальчиков, 6 девочек}. \\
&\text{Ответ: } \boxed{6}.
\end{align}
- В треугольнике \(ABC\) высота \(CH\) делит отрезок \(AB\) так, что \(AH\), \(CH\), \(BH\) образуют геометрическую прогрессию. Найдите угол \(C\).
Решение:
\begin{align}
&\text{Так как } CH^2 = AH \cdot BH \text{ (свойство высоты в прямоугольном треугольнике)}, \\
&\text{угол } C \text{ равен } \boxed{90^\circ}.
\end{align}
- Найдите площадь фигуры, заданной неравенствами:
\[
|x| - 1 \le y \le 4 - |x|.
\]
Решение:
\begin{align}
&\text{Фигура симметрична относительно оси } y. \\
&\text{Площадь: } 2 \cdot \int_{0}^{2{,}5} (5 - 2|x|) dx = \boxed{\frac{25}{2}}.
\end{align}
- Найдите косинус угла между прямыми \(KC\) и \(DB\) в квадрате \(ABCD\) с серединой \(K\) стороны \(AB\).
Решение:
\begin{align}
&\text{Векторы } KC = (1,2), DB = (2,-2). \\
&\cos{\theta} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2)}{\sqrt{1^2 + 2^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-2)^2}} = \boxed{-\frac{1}{\sqrt{10}}}.
\end{align}
- Найдите остаток от деления произведения членов арифметической прогрессии на 301.
Решение:
\begin{align}
&\text{Прогрессия содержит множители 7 и 43, поэтому произведение кратно 301.} \\
&\text{Ответ: } \boxed{0}.
\end{align}
- Найдите все пары \((x,y)\), удовлетворяющих уравнению:
\[
x^2 + 2|x + y - 6| + 4y^2 = 4xy.
\]
Решение:
\begin{align}
&\text{Преобразуем: } (x - 2y)^2 + 2|x + y - 6| = 0. \\
&\begin{cases}
x = 2y \\
x + y = 6
\end{cases}
\Rightarrow x = 4, y = 2.
&\text{Ответ: } \boxed{(4, 2)}. \end{align}
- Найдите коэффициенты функции \(f(x) = ax^2 + bx + c\), удовлетворяющей условиям \(f(x+y) = f(x) + f(y)\) и \(f(4) = 12\).
Решение:
\begin{align}
&\text{Аддитивность выполняется только при } a = 0, c = 0. \\
&\text{Получаем } b = 3. \\
&\text{Ответ: } \boxed{0}, \boxed{3}, \boxed{0}.
\end{align}
- Докажите, что в заданных условиях произведение и сумма не могут быть одновременно 1 и 0.
Решение:
\begin{align}
&\text{Количество отрицательных чисел чётное, сумма целых чисел даёт 0} \\
&\text{Произведение нечётного количества отрицательных чисел противоречит условию.} \\
&\text{Следовательно, ошибка присутствует.}
\end{align}
- Найдите \(b\), если один корень уравнения \(x^2 + 33x - 11b = 0\) — простое число.
Решение:
\begin{align}
&\text{Простой корень } p = 11 \Rightarrow b = \frac{11^2 + 33 \cdot 11}{11} = \boxed{44}.
\end{align}
- Найдите площадь треугольника после сгибания прямоугольника \(1 \times 2\).
Решение:
\begin{align}
&\text{Треугольник имеет основание } \sqrt{2} \text{ и высоту } \frac{1}{\sqrt{2}}. \\
&\text{Площадь: } \boxed{\frac{1}{2}}.
\end{align}
- Найдите \(a\), при котором уравнение \(\frac{8x - 2}{ax + 3} = 2\) не имеет решений. Решение: \begin{align} &\text{При } a = 4 \text{ уравнение превращается в противоречие } 0 = 8. \\ &\text{Ответ: } \boxed{4}. \end{align}
Материалы школы Юайти