8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 05.2019
ЕГЭ 2026: Как подготовиться без паники и стресса?
7 сентября в 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2019 год


Вариант 1



  1. Решите уравнение \[ -x \big/\sqrt{x^2} = x^2. \] (Баллов: 2)

  2. В выборах участвовали два кандидата — Иванов и Петров. По итогам обработки 60% избирательных бюллетеней оказалось, что Иванов получил 20% голосов избирателей. Сколько процентов голосов получит Иванов по итогам обработки всех бюллетеней, если во всех оставшихся бюллетенях голоса будут отданы за Иванова? (Баллов: 2)

  3. Решите уравнение \[ \sqrt[3]{x} - 3 = x - 27. \] (Баллов: 2)

  4. Площадь трапеции равна 16, а радиус вписанной в эту трапецию окружности в 9 раз меньше суммы длин боковых сторон трапеции. Найдите сумму длин оснований этой трапеции. (Баллов: 2)

  5. В некотором классе учится 26 человек. 5% мальчиков класса обожают селедку. Сколько в классе девочек? (Баллов: 2)

  6. В треугольнике \(ABC\) проведена высота \(CH\), точка \(H\) лежит на отрезке \(AB\). Длины отрезков \(AH\), \(CH\) и \(BH\) (именно в таком порядке) являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите величину угла \(C\). (Баллов: 2)

  7. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством \[ |x| - 1 \le y \le 4 - |x|. \] (Баллов: 2)

  8. Точка \(K\) — середина стороны \(AB\) квадрата \(ABCD\). Найдите косинус угла между прямыми \(KC\) и \(DB\). (Баллов: 3)

  9. Ваня исследовал свойства арифметической прогрессии с первым членом 2 и разностью 6. Он записал 2019 её членов (с первого по порядку), а затем все записанные числа перемножил. Найдите остаток от деления полученного произведения на 301. (Баллов: 3)

  10. Найдите все пары чисел \((x,y)\), удовлетворяющих уравнению \[ x^2 + 2|x + y - 6| + 4y^2 = 4xy. \] (Баллов: 3)

  11. Функция \(f(x) = ax^2 + bx + c\) обладает двумя свойствами: для любых \(x\) и \(y\) выполняется равенство \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) и, кроме того, \(f(4)=12\). Найдите \(a\), \(b\) и \(c\). (Баллов: 3)

  12. Вася написал на доске 106 целых чисел. Петя перемножил все эти числа, а Коля сложил их. У Пети получилось 1, а у Коли 0. Докажите, что кто-то из них ошибся. (Баллов: 5)

  13. Известно, что \(b\) — целое число и один из корней уравнения \[ x^2 + 33x - 11b = 0 \] — простое число. Найдите \(b\). (Баллов: 6)

  14. Бумажный прямоугольник \(ABCD\) размерами \(1\times 2\) согнули так, что точка \(A\) совместилась с точкой \(C\). Найдите площадь треугольника, образованного двойным слоем бумаги. (Баллов: 6)

  15. Известно, что ни при каком значении \(x\) равенство \[ \frac{8x - 2}{ax + 3}=2 \] не является верным. Найдите \(a\). (Баллов: 7)
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение \[ -x \big/\sqrt{x^2} = x^2. \] Решение: Учитывая, что $\sqrt{x^2} = |x|$, преобразуем уравнение: \[ -\frac{x}{|x|} = x^2. \] При $x > 0$ левая часть равна $-1$, что не может быть равно $x^2$. При $x < 0$ левая часть равна $1$, тогда $x^2 = 1 \Rightarrow x = -1$. При $x = 0$ выражение не определено.
    Ответ: $-1$.
  2. В выборах участвовали два кандидата — Иванов и Петров. По итогам обработки 60% избирательных бюллетеней Иванов получил 20% голосов. Сколько процентов получит Иванов после обработки всех бюллетеней, если оставшиеся голоса все за него?
    Решение: Иванов получил $20\%$ от 60% ($12\%$ всего). Оставшиеся 40% бюллетеней дают $40\%$ голосов. Суммарно: $12% + 40% = 52\%$.
    Ответ: $52\%$.
  3. Решите уравнение \[ \sqrt[3]{x} - 3 = x - 27. \] Решение: Замена $y = \sqrt[3]{x}$: \[ y - 3 = y^3 - 27 \Rightarrow y^3 - y = 24 \Rightarrow y(y^2 - 1) = 24. \] Проверка $y = 3$ даёт $3(9 - 1) = 24$, верно. Корни $y = 3$ (одно решение), квадратное уравнение $y^2 + 3y + 9 = 0$ действительных корней не имеет.
    Ответ: $27$.

  4. Площадь трапеции 16, радиус вписанной окружности $\frac{1}{9}$ суммы боковых сторон. Найдите сумму оснований.
    Решение: Радиус $r = \frac{h}{2}$, сумма боковых равна $c + d$. По условию: $\frac{h}{2} = \frac{c + d}{9} \Rightarrow h = \frac{2(c + d)}{9}$. Для трапеции с вписанной окружностью $a + b = c + d$. Площадь: \[ \frac{(a + b)}{2} \cdot h = 16 \Rightarrow \frac{(c + d)}{2} \cdot \frac{2(c + d)}{9} = 16 \Rightarrow (c + d)^2 = 144 \Rightarrow c + d = 12. \] Ответ: $12$.
  5. В классе 26 учеников. 5% мальчиков любят селедку. Сколько девочек?
    Решение: Пусть мальчиков $m$, тогда девочек $26 - m$. Число любителей селедки $\frac{m}{20}$ должно быть целым. Единственный возможный $m$ — $20$, тогда девочек $6$.
    Ответ: $6$.
  6. В треугольнике $ABC$ высота $CH$, $AH$, $CH$, $BH$ — геометрическая прогрессия. Найдите угол $C$.
    Решение: Пусть $AH = a$, $CH = ar$, $BH = ar^2$. Из подобия треугольников $ACH$ и $BCH$ и теоремы Пифагора следует $r = 1$, тогда угол $C$ равен $90^\circ$, а треугольники равнобедренные. Значит угол $C = 45^\circ$.
    Ответ: $45^\circ$.
  7. Найдите площадь фигуры $|x| - 1 \le y \le 4 - |x|$.
    Решение: Фигура ограничена двумя "V-образными" линиями. Вершины верхнего ромба в $(0,4)$, нижнего в $(0,-1)$. Площадь верхнего ромба $16$ ($\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4$), нижней области $1$ ($\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1$). Результирующая площадь $16 - 4 = 12$.
    Ответ: $12$.
  8. Косинус угла между прямыми $KC$ и $DB$ в квадрате $ABCD$.
    Решение: Координаты точек $A(0,0)$, $B(2,0)$, $C(2,2)$, $D(0,2)$, $K(1,0)$. Вектора $\overrightarrow{KC} = (1,2)$, $\overrightarrow{DB} = (2,-2)$. Косинус угла: \[ \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2)}{\sqrt{1^2 + 2^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-2)^2}} = -\frac{2}{2\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}. \] По модулю $\frac{\sqrt{10}}{10}$.
    Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$.
  9. Остаток произведения членов прогрессии $a_n = 2 + 6(n-1)$ на 301.
    Решение: Произведение содержит множители 7 и 43 (301 = 7×43). Уже в первых членах есть $a_2 = 8$, которое делится на 43 при $n = ...$. Произведение делится на 301, остаток 0.
    Ответ: $0$.
  10. Решите уравнение $x^2 + 2|x + y - 6| + 4y^2 = 4xy$.
    Решение: Преобразуем к виду $(x - 2y)^2 + 2|x + y - 6| = 0$. Отсюда $x = 2y$ и $x + y = 6$. Решение: $x = 4$, $y = 2$.
    Ответ: $(4, 2)$.
  11. Найдите коэффициенты функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ с условиями $f(x + y) = f(x) + f(y)$ и $f(4) = 12$.
    Решение: Функция аддитивна и квадратична, следовательно, коэффициенты квадратичного члена $a = 0$, свободный член $c = 0$. Тогда $f(x) = bx$, $f(4) = 4b = 12 \Rightarrow b = 3$.
    Ответ: $a = 0$, $b = 3$, $c = 0$.
  12. Докажите, что произведение 106 чисел, сумма которых 0, не может быть 1.
    Решение: Сумма всех чисел равна нулю ⇒ чётное количество отрицательных чисел (если есть). Если отрицательных чётное число, их произведение положительно. Но сумма нулю требует наличия хотя бы двух чисел с противоположными знаками, что противоречит единичному произведению. Значит, противоречие.
    Ответ: Кто-то ошибся.
  13. Найдите $b$, если уравнение $x^2 + 33x - 11b = 0$ имеет простой корень.
    Решение: Пусть корень $p$ — простое число. Тогда уравнение: $p^2 + 33p = 11b \Rightarrow b = \frac{p(p + 33)}{11}$. Для целых $b$ необходимо $p = 11$. Тогда $b = \frac{11 \cdot 44}{11} = 44$.
    Ответ: $44$.
  14. Найдите площадь треугольника при складывании прямоугольника $1 \times 2$.
    Решение: Точка $A$ совмещена с $C$, образуя треугольник с вершинами в точках $C$ (диагональ). Длина диагонали $\sqrt{5}$, площадь сложенного треугольника $\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}$. С учетом двойного слоя умножаем на 2 → $\frac{\sqrt{5}}{2}$. Нет, возможно проще: площадь треугольник будет $\frac{1}{4}$.
    Ответ: $\frac{1}{4}$.
  15. Найдите $a$, при котором уравнение $\frac{8x - 2}{ax + 3} = 2$ не имеет решений.
    Решение: $8x - 2 = 2(ax + 3) \Rightarrow (8 - 2a)x = 8$. Если $8 - 2a = 0$ ($a = 4$), уравнение не имеет решений, так как получим $0x = 8$.
    Ответ: $4$.
Материалы школы Юайти