8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2018 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 05.2018
СкачатьПечать
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2018 год


Вариант 1





  1. (3 балла) Вычислить значение выражения \[ \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{5})^2} {\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}-\sqrt{1\frac{9}{16}}}. \]
  2. (3 балла) Решить уравнение \[ (x^2 - 6x + 9)^2 + 2(x-3)^2 = 3. \]
  3. (3 балла) Найти значение выражения \[ \frac{144^{10}\,\cdot\,3^{5,5}} {8^{13}\,\cdot\,27^{7}\,\cdot\,\sqrt{243}}. \]
  4. (3 балла) Основание равнобедренного треугольника равно \(12\) см. Боковая сторона делится точкой касания с вписанной окружностью в отношении \(4:3\), считая от вершины. Найти периметр треугольника.
  5. (3 балла) Найти длину отрезка, являющегося решением системы \[ \begin{cases} x^2 + 2x + 5 > 0,\\ \sqrt{2x - 1} \le 3. \end{cases} \]
  6. (3 балла) Длину прямоугольного участка увеличили на \(10\%\), а ширину уменьшили на некоторое число процентов. В результате площадь уменьшилась на \(1\%\). На сколько процентов уменьшилась ширина?
  7. (3 балла) Построить график функции \[ y = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{(x+1)(x-2)}. \]
  8. (3 балла) Маугли попросил обезьян принести ему орехов. Каждая набрала поровну \(k\) орехов и понесла Маугли. По дороге каждая бросила в каждую по одному ореху. В результате Маугли досталось 33 ореха. Сколько орехов собрала каждая обезьяна, если \(k>1\)?
  9. (3 балла) Найти \(p\) и \(q\), если точка \(A(1,-2)\) — вершина параболы \(y=x^2+px+q\).
  10. (4 балла) Решить уравнение \[ \frac{7x+6}{x+2}-\frac{3-3x}{2-x}+\frac{6x}{x^2-4}=x. \]
  11. (6 баллов) Решить неравенство \[ x^2 - \lvert5x-9\rvert \le 5x. \]
  12. (7 баллов) В прямоугольной трапеции средняя линия равна \(13{,}5\) см. Меньшая диагональ трапеции является биссектрисой тупого угла и равна \(12\) см. Найти площадь трапеции.
  13. (6 баллов) При каких значениях параметра \(a\) расстояние между корнями уравнения \[ x^2 - 2ax + \frac{3}{4}a^2 = 0 \] равно \(2\)?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислить значение выражения: \[ \frac{(\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}})^2} {\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}-\sqrt[3]{2\frac{10}{27}}}. \] Решение:
    • Числитель: \[ (\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}})^2 = 8 - 2\sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})} = 8 - 2\cdot 3 = 2. \]
    • Знаменатель: \[\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{3}{2}, \quad \sqrt[3]{\frac{64}{27}} = \frac{4}{3}.\] \[\frac{3}{2} - \frac{4}{3} = \frac{1}{6}.\]
    • Результат: \[\frac{2}{\frac{1}{6}} = 12.\]
      Ответ: 12.


  2. Решить уравнение: \[ (x^2 - 4x + 4)^2 + 3(x-2)^2 = 4. \] Решение:
    • Замена \( y = (x-2)^2 \): \[ y^2 + 3y - 4 = 0 \implies y = 1 \text{ (т.к. } y \geq 0). \]
    • Тогда: \((x-2)^2 = 1 \implies x = 3 \text{ или } x = 1\).
      Ответ: 1; 3.


  3. Найти значение выражения: \[ \frac{100^{11}\,\cdot\,\sqrt{125}} {8^7\,\cdot\,25^{9}\,\cdot\,5^{3,5}}. \] Решение:
    • Представив степенями: \[\frac{(2^2 \cdot 5^2)^{11} \cdot 5^{1,5}}{(2^3)^7 \cdot (5^2)^9 \cdot 5^{3,5}} = \frac{2^{22} \cdot 5^{23,5}}{2^{21} \cdot 5^{21,5}} = 2 \cdot 5^2 = 50.\]
      Ответ: 50.


  4. Периметр равнобедренного треугольника с основанием \(4\) см, где боковая сторона делится вписанной окружностью в отношении \(3:2\).
    Решение:
    • Боковая сторона \(b = 5k\), полупериметр \(p = 5k + 2\). Отрезки касания: \(3k = p - 4\), \(k = 1\). Тогда \(b = 5\) см, периметр \(2 \cdot 5 + 4 = 14\) см.
      Ответ: 14 см.


  5. Длина отрезка решения системы: \[ \begin{cases} x^2 + x + 3 > 0,\\ \sqrt{2x - 3} \le 3 \end{cases} \] Решение:
    • Первое неравенство верно всегда. Второе: \(2x - 3 \leq 9 \implies x \leq 6\) и \(x \geq 1.5\). Длина отрезка: \(6 - 1.5 = 4.5\) см.
      Ответ: 4,5 см.


  6. Вес покупки уменьшился на \(20\%\) при росте цены на \(20\%\) и снижении оплаты на \(4\%\).
    Решение:
    • Новая цена \(1.2p\), оплата \(0.96pm = 1.2p \cdot m_{\text{нов}}\). Откуда \(m_{\text{нов}} = 0.8m\), уменьшение на \(20\%\).
      Ответ: на \(20\%\).


  7. График функции \(y = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{(x-1)(x+2)}\) упрощается до \(y = x^2 - x - 2\) с выколотыми точками \(x = 1\) и \(x = -2\).
    Ответ: график параболы с отверстиями в \((1, -2)\) и \((-2, 4)\).

  8. Каждая девочка купила 15 открыток (два решения для \(n=5\) и \(n=11\), но \(k=15\)).
    Ответ: 15.

  9. Вершина параболы \(A(-2,7)\) задается коэффициентами \(k = 2\), \(m = 15\).
    Ответ: \(k = 2\), \(m = 15\).

  10. Решение уравнения \(\dots\) дает корни \(\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}\).
    Ответ: \(\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}\).

  11. Неравенство \(x^2 - |8.5x -16| \leq 8.5x\) решается на отрезке \([-4, 16]\).
    Ответ: \(x \in [-4, 16]\).

  12. Площадь трапеции равна 216 см² (решение через свойства треугольника).
    Ответ: 216.

  13. Корни уравнения \(x^2 - 2a x - \frac{5}{4}a^2 = 0\) удалены на 1 при \(a = \pm \frac{1}{3}\).
    Ответ: \(a = \pm \frac{1}{3}\).
Материалы школы Юайти