8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2018 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 04.2018
СкачатьПечать
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2018 год


Вариант 2



  1. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе \[ \frac{1}{\sqrt[3]{3} - 1}. \]
  2. Найдите область определения функции \[ y = \frac{\sqrt{16 - x^2}}{x^2 + 2x + 1}. \]
  3. Найдите длину наибольшего промежутка возрастания функции, заданной графиком.
  4. Известно, что в арифметической прогрессии \(\{a_n\}\) выполняются неравенства \[ 0 < a_5 < 5{,}18,\quad -2{,}5 < a_7 < 3{,}5. \] Найдите все возможные целые значения шестого члена этой прогрессии.
  5. Найдите многочлен \(M(x)\), если известно, что \[ x^3 + 2x^2 + x + 2 = (x^2 + 1)\,M(x). \]
  6. Графики функций \(y = a x^2\) и \(y = 1 - 2x\) пересекаются в точке \((2,-3)\). Найдите координаты другой точки пересечения.
  7. Найдите все значения параметра \(a\), при которых решением системы \[ \begin{cases} 2x - a y = 6,\\ x + 3y = 10 \end{cases} \] является пара чисел \((2m,m)\).
  8. В окружности с центром \(O\) проведены равные хорды \(CD\) и \(CE\). Известно, что угол \(\angle DCE\) на \(105^\circ\) больше угла \(\angle CDE\). Найдите угол \(\angle DOE\).
  9. Даны прямые \(2x + y + 1 = 0\) и \(x - y + 8 = 0\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), где \(A\) и \(B\) — точки пересечения этих прямых с осью \(Ox\), а \(C\) — их точка пересечения.
  10. Постройте график функции \[ y = \frac{x - 2x^2}{x^2 - x} \] и укажите все значения параметра \(m\), при которых прямая \(y = m\) не пересекает этот график.
  11. Решите уравнение \[ |3x - 2| - |5x - 3| - 2x = -1. \]
  12. Решите неравенство \[ (x^2 + 4x + 3)\sqrt{x + 2} > 0. \]
  13. Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющих \[ x^2 - 47 = y^2. \]
  14. В трапеции \(ABCD\) диагональ \(AC\) перпендикулярна боковой стороне \(CD\). Найдите длину большего основания \(AD\), если \(AB = 4\), \(BC = 2\), \(\angle ABC = 120^\circ\).
  15. В момент, когда два бассейна были пустыми, семь труб одинаковой производительности подключили к первому бассейну. Когда он был заполнен на \(\tfrac14\) своего объёма, три трубы переключили на второй бассейн. При заполнении первого бассейна на \(\tfrac12\) ещё две трубы переключили на второй. После этого оба бассейна наполнились одновременно. Найдите отношение их объёмов.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе \[ \frac{1}{\sqrt[3]{3} - 1}. \\[5pt] \] Решение: Для устранения иррациональности умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы: \[ \frac{1}{\sqrt[3]{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1} = \frac{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3})^3 - 1^3} = \frac{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}{2}. \\[5pt] \] Ответ: $\frac{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}{2}$.
  2. Найдите область определения функции \[ y = \frac{\sqrt{16 - x^2}}{x^2 + 2x + 1}. \\[5pt] \] Решение: Условия:
    • Подкоренное выражение $\geq 0: \,16 - x^2 \geq 0 \implies x \in [-4;4]$.
    • Знаменатель $\neq 0: \,x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \neq 0 \implies x \neq -1$.
    Область определения: $[-4;4] \setminus \{-1\}$.
    Ответ: $x \in [-4;4]$, $x \neq -1$.

  3. Найдите длину наибольшего промежутка возрастания функции, заданной графиком.
    Решение: График отсутствует — задача требует визуального анализа. Типовой ответ: наибольший промежуток возрастания определяется по оси X между локальными минимумом и максимумом.
    Ответ: Необходим график для анализа.

  4. Известно, что в арифметической прогрессии \(\{a_n\}\) выполняются неравенства \[ 0 < a_5 < 5{,}18,\quad -2{,}5 < a_7 < 3{,}5. \\[5pt] \] Найдите все возможные целые значения шестого члена этой прогрессии.
    Решение: \[ a_5 = a_1 +4d,\,\,a_6 = a_1 +5d,\,\,a_7 = a_1 +6d. \\[5pt] \] Из условий:
    $0 < a_1 +4d <5,18$,
    $-2,5 <a_1 +6d <3,5$.
    Вычитая первое неравенство из второго: \begin{align*} -2,5 -5,18 &< 2d <3,5 -0 \\ -7,68 &<2d <3.5 \\ -3.84 &<d <1.75 \end{align*}
    Для $a_6 = a_1 +5d$ выразим $a_1 =a_5 -4d$:
    $a_6 = (a_5 -4d) +5d =a_5 +d$.
    Из первого неравенства $a_5 \in (0;5,18)$ и $d$ ограничен выше. Возможные целые значения при $a_6 =4$.
    Ответ: 4.

  5. Найдите многочлен \(M(x)\), если известно, что \[ x^3 + 2x^2 + x + 2 = (x^2 + 1)\,M(x). \\[5pt] \] Решение: Разделим левую часть на \(x^2 +1\):
    $(x^3 +2x^2 +x +2) ÷ (x^2 +1) =x +2$
    Проверка: $(x^2 +1)(x +2) =x^3 +2x^2 +x +2$.
    Ответ: $M(x) =x +2$.

  6. Графики функций \(y = a x^2\) и \(y = 1 - 2x\) пересекаются в точке \((2,-3)\). Найдите координаты другой точки пересечения.
    [5pt] Решение: Подставим точку \((2,-3)\) в параболу:
    $-3 =a \cdot4 \implies a = -\frac{3}{4}$.
    Решаем уравнение $-\frac{3}{4}x^2 =1 -2x$:
    $3x^2 -8x +4 =0$; корни $x=2$ и $x=\frac{2}{3}$.
    Для $x=\frac{2}{3}$: $y=1 -2 \cdot\frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$.
    Ответ: $\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)$.

  7. Найдите все значения параметра \(a\), при которых решением системы \[ \begin{cases} 2x - a y = 6,\\ x + 3y = 10 \end{cases} \] является пара чисел \((2m,m)\).
    [5pt] Решение: Подставим $x=2m$, $y=m$ в систему:
    \begin{align} 2(2m) -a m &=6 \implies4m -a m =6,\\ 2m +3m &=10 \implies5m=10 \implies m=2. \end{align}
    Подставим $m=2$ в первое уравнение:
    $8 -2a =6 \implies2a=2 \implies a=1$.
    Ответ: $a=1$.

  8. В окружности с центром \(O\) проведены равные хорды \(CD\) и \(CE\). Известно, что угол \(\angle DCE\) на \(105^\circ\) больше угла \(\angle CDE\). Найдите угол \(\angle DOE\).
    [5pt] Решение:
    • Треугольник $CDE$ равнобедренный ($CD=CE$), значит углы при основании $\angle CDE = \angle CED = x$.
    • По условию: $\angle DCE = x +105^\circ$.
    • Сумма углов: $x +x +x +105^\circ =180^\circ \implies3x =75^\circ \impliesx=25^\circ$.
    • Угол $DOE$ соответствует центральному углу, опирающемуся на дугу $DE$.
    • $\angle DOE =2(\angle DCE) =2 \cdot130^\circ=260^\circ$? Необходим чертеж.
    Возможный ответ: $\boxed{100^\circ}$.

  9. Даны прямые \(2x + y + 1 = 0\) и \(x - y + 8 = 0\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), где \(A\) и \(B\) — точки пересечения этих прямых с осью \(Ox\), а \(C\) — их точка пересечения.
    [5pt] Решение:
    • Точка $A$: $y=0 \implies2x +1 =0 \impliesx=-\frac{1}{2}$.
    • Точка $B$: $y=0 \impliesx +8=0 \impliesx=-8$.
    • Точка пересечения C: Решаем систему: \[ \begin{cases} 2x + y =-1, \\ x - y =-8 \end{cases} \implies3x=-9 \impliesx=-3,\,\, y=5. \] Основание $AB =| -8 - (-0.5)| =7.5$. Высота $h=5$.
      Площадь: $\frac{1}{2} \cdot7.5 \cdot5 =18.75$.
    Ответ: 18,75.

  10. Постройте график функции \[ y = \frac{x - 2x^2}{x^2 - x} \] и укажите все значения параметра \(m\), при которых прямая \(y = m\) не пересекает этот график.
    [5pt] Решение: Упростим функцию: \[ y = \frac{x(1 - 2x)}{x(x - 1)} = \frac{1 - 2x}{x - 1} \quad (x \neq0,\,1). \\[5pt] \] После упрощения: $y=2$, кроме точек разрыва $x=0$ (выколота). Горизонталь $y=2$ совпадает с функцией, значит пересечений нет при $m=2$.
    Ответ: $m=2$.

  11. Решите уравнение \[ |3x - 2| - |5x - 3| - 2x = -1. \\[5pt] \] Решение: Рассмотрим случаи:
    1. $x < \frac{2}{3}$: \begin{align} -(3x -2) - (-(5x -3)) -2x &= -1,\\ -3x +2 +5x -3 -2x &= -1,\\ (-3x +5x -2x) + (2-3) &= -1,\\ -1 &= -1 \implies \text{все }x < \frac{2}{3}. \end{align}
    2. $\frac{2}{3} \leq x < \frac{3}{5}$: \begin{align} 3x -2 - ( -5x +3 ) -2x &= -1,\\ 3x -2 +5x -3 -2x &= -1,\\ 6x -5 &= -1 \implies6x=4 \impliesx=\frac{2}{3}. \end{align}
    3. $x \geq \frac{3}{5}$: \begin{align} 3x -2 - (5x -3) -2x &= -1,\\ 3x -2 -5x +3 -2x &= -1,\\ -4x +1 &= -1 \implies-4x =-2 \impliesx=0,5 \, (\text{но }0,5 < \frac{3}{5}). \end{align}
    Итог: $x \in(-\infty; \frac{2}{3}]$.
    Ответ: $x \leq \frac{2}{3}$.

  12. Решите неравенство \[ (x^2 + 4x + 3)\sqrt{x + 2} > 0. \\[5pt] \] Решение:
    • Корень определен при $x +2 \geq 0 \impliesx \geq-2$.
    • Разложим квадратный трёхчлен: $x^2 +4x +3 =(x+1)(x+3)$.
    • Смена знака на корнях $-3$, $-1$. Учитывая ОДЗ ($x \geq-2$), отрезок $[-2;-1)\cup(-1; +\infty)$.
    • Знак выражения:
      • При $-2 \leqx < -1$: $(+)\cdot(+) =+$.
      • При $x >-1$: $(+)\cdot(+) =+$.
      Учитывая $x \neq-1$ (обращает в ноль скобку).
      Ответ: $x \in[-2;-1) \cup(-1;+\infty)$.

    • Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющих \[ x^2 - 47 = y^2. \\[5pt] \] Решение: Перепишем: \[ (x - y)(x + y) =47. \\[5pt] \] 47 — простое. Считаем делители: \begin{align} \begin{cases} x - y =1, \\ x + y =47 \end{cases} &\impliesx=24,\ y=23.
      \begin{cases} x - y =-1, \\ x + y =-47 \end{cases} &\impliesx=-24,\ y=-23.
      \begin{cases} x - y =47, \\ x + y =1 \end{cases} &\impliesx=24,\ y=-23.
      \begin{cases} x - y =-47, \\ x + y =-1 \end{cases} &\impliesx=-24,\ y=23. \end{align} Ответ: $(24;23)$, $(24;-23)$, $(-24;-23)$, $(-24;23)$.

    • В трапеции \(ABCD\) диагональ \(AC\) перпендикулярна боковой стороне \(CD\). Найдите длину большего основания \(AD\), если \(AB = 4\), \(BC = 2\), \(\angle ABC = 120^\circ\).
      [5pt] Решение:
      • По теореме косинусов в треугольнике $ABC$: \[ AC^2 =AB^2 +BC^2 -2 \cdotAB \cdot BC \cdot \cos120^\circ =16 +4 -2\cdot4\cdot2\cdot(-0.5)=24 \impliesAC=2\sqrt6. \]
      • Так как $AC \perp CD$, треугольник $ACD$ прямоугольный.
      • Из подобия треугольников $ABC$ и $ACD$ (углы совпадают): \[ \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB} \impliesAD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{24}{4}=6. \]
      Ответ: 6.

    • В момент, когда два бассейна были пустыми, семь труб одинаковой производительности подключили к первому бассейну. Когда он был заполнен на $\tfrac14$ своего объёма, три трубы переключили на второй бассейн. При заполнении первого бассейна на $\tfrac12$ ещё две трубы переключили на второй. После этого оба бассейна наполнились одновременно. Найдите отношение их объёмов.
      [5pt] Решение: Пусть $V_1$ и $V_2$ — объёмы бассейнов. Пусть производительность трубы $r$.
      Этапы заполнения:
      1. До $\frac14V_1$: 7 труб время $t_1 = \frac{V_1}{4 \cdot7r}$.
      2. До $\frac12V_1$: 4 трубы время $t_2 = \frac{V_1/4}{4r} = \frac{V_1}{16r}$.
      3. Остаток $\frac12V_1$: 2 трубы к первому бассейну, 5 ко второму. Время $t_3$: \[ \frac{V_1/2}{2r} = t_3,\, V_2 -5r t_3 =5r t_3 \impliesV_2 =10r t_3. \] Также одновременно заполняются $V_1/2 =2r t_3$ $\impliest_3 =\frac{V_1}{4r}$.
      Тогда $V_2=10r \cdot\frac{V_1}{4r}= \frac{10}{4} V1 =2.5 V1$. Отношение $V1 : V2 =2:5$. Ответ: $\frac{2}{5}$.
Материалы школы Юайти