8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2018 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 04.2018
ЕГЭ 2026: Как подготовиться без паники и стресса?
7 сентября в 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2018 год


Вариант 2



  1. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе \[ \frac{1}{\sqrt[3]{3} - 1}. \]
  2. Найдите область определения функции \[ y = \frac{\sqrt{16 - x^2}}{x^2 + 2x + 1}. \]
  3. Найдите длину наибольшего промежутка возрастания функции, заданной графиком.
  4. Известно, что в арифметической прогрессии \(\{a_n\}\) выполняются неравенства \[ 0 < a_5 < 5{,}18,\quad -2{,}5 < a_7 < 3{,}5. \] Найдите все возможные целые значения шестого члена этой прогрессии.
  5. Найдите многочлен \(M(x)\), если известно, что \[ x^3 + 2x^2 + x + 2 = (x^2 + 1)\,M(x). \]
  6. Графики функций \(y = a x^2\) и \(y = 1 - 2x\) пересекаются в точке \((2,-3)\). Найдите координаты другой точки пересечения.
  7. Найдите все значения параметра \(a\), при которых решением системы \[ \begin{cases} 2x - a y = 6,\\ x + 3y = 10 \end{cases} \] является пара чисел \((2m,m)\).
  8. В окружности с центром \(O\) проведены равные хорды \(CD\) и \(CE\). Известно, что угол \(\angle DCE\) на \(105^\circ\) больше угла \(\angle CDE\). Найдите угол \(\angle DOE\).
  9. Даны прямые \(2x + y + 1 = 0\) и \(x - y + 8 = 0\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), где \(A\) и \(B\) — точки пересечения этих прямых с осью \(Ox\), а \(C\) — их точка пересечения.
  10. Постройте график функции \[ y = \frac{x - 2x^2}{x^2 - x} \] и укажите все значения параметра \(m\), при которых прямая \(y = m\) не пересекает этот график.
  11. Решите уравнение \[ |3x - 2| - |5x - 3| - 2x = -1. \]
  12. Решите неравенство \[ (x^2 + 4x + 3)\sqrt{x + 2} > 0. \]
  13. Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющих \[ x^2 - 47 = y^2. \]
  14. В трапеции \(ABCD\) диагональ \(AC\) перпендикулярна боковой стороне \(CD\). Найдите длину большего основания \(AD\), если \(AB = 4\), \(BC = 2\), \(\angle ABC = 120^\circ\).
  15. В момент, когда два бассейна были пустыми, семь труб одинаковой производительности подключили к первому бассейну. Когда он был заполнен на \(\tfrac14\) своего объёма, три трубы переключили на второй бассейн. При заполнении первого бассейна на \(\tfrac12\) ещё две трубы переключили на второй. После этого оба бассейна наполнились одновременно. Найдите отношение их объёмов.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: \[ \frac{1}{\sqrt[3]{3} - 1}. \] Решение: Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1^2$: \[ \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{(\sqrt[3]{3} - 1)(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)} = \frac{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}{2}. \] Ответ: $\frac{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}{2}$.

  2. Найдите область определения функции \[ y = \frac{\sqrt{16 - x^2}}{x^2 + 2x + 1}. \] Решение: Область определения определяется условиями: \begin{align} 16 - x^2 &\geq 0 \implies x \in [-4; 4], \\ x^2 + 2x + 1 &\neq 0 \implies x \neq -1. \end{align} Ответ: $x \in [-4; -1) \cup (-1; 4]$.

  3. Найдите длину наибольшего промежутка возрастания функции, заданной графиком.
    Решение: График не представлен. Для функции общего вида наибольший промежуток возрастания соответствует интервалу между двумя соседними локальными минимумами. Ответ зависит от конкретного вида функции.

  4. Найдите все возможные целые значения шестого члена арифметической прогрессии, если $0 < a_5 < 5{,}18$ и $-2{,}5 < a_7 < 3{,}5$.
    Решение: Исходя из неравенств, для $a_{6} = \frac{a_5 + a_7}{2}$ получим: \[ -1{,}25 < \frac{0 + (-2{,}5)}{2} < a_6 < \frac{5{,}18 + 3{,}5}{2} < 4{,}34. \] Целые значения: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$.
    Ответ: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$.

  5. Найдите многочлен $M(x)$, если $x^3 + 2x^2 + x + 2 = (x^2 + 1)M(x)$.
    Решение: Разделим левую часть на $x^2 + 1$: \[ x^3 + 2x^2 + x + 2 = (x + 2)(x^2 + 1). \] Ответ: $M(x) = x + 2$.

  6. Найдите координаты другой точки пересечения графиков $y = a x^2$ и $y = 1 - 2x$, если известно пересечение в точке $(2, -3)$.
    Решение: Подставив $(2, -3)$ в уравнение $y = a x^2$: \[ -3 = 4a \implies a = -\frac{3}{4}. \] Решим уравнение $-\frac{3}{4}x^2 = 1 - 2x$: \[ 3x^2 - 8x + 4 = 0 \implies x = 2 \text{ или } x = \frac{2}{3}. \] Вторая точка пересечения: $\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)$.
    Ответ: $\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)$.

  7. Найдите все значения параметра $a$, при которых решением системы является пара $(2m, m)$.
    Решение: Подставим $x = 2m$, $y = m$ в систему: \[ \begin{cases} 4m - a m = 6, \\ 5m = 10 \implies m = 2. \end{cases} \] Отсюда $a = 1$.
    Ответ: $a = 1$.

  8. Найдите угол $\angle DOE$ в окружности, если равные хорды $CD$ и $CE$ образуют $\angle DCE$ на $105^\circ$ больше $\angle CDE$.
    Решение: В равнобедренном треугольнике $CDE$: \[ \angle DCE = 25^\circ + 105^\circ = 130^\circ. \] Центральный угол $\angle DOE$ равен удвоенной мере дуги $DE$: $2 \cdot 130^\circ = 260^\circ$.
    Ответ: $260^\circ$.

  9. Найдите площадь треугольника $ABC$, где $A$ и $B$ — пересечения прямых $2x + y + 1 = 0$, $x - y + 8 = 0$ с осью $Ox$, а $C$ — их точка пересечения.
    Решение: Найдём координаты $A(-0{,}5; 0)$, $B(-8; 0)$, $C(-3; 5)$. Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} |AB| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 7{,}5 \cdot 5 = 18{,}75. \] Ответ: $18{,}75$.

  10. Найдите все $m$, при которых прямая $y = m$ не пересекает график функции $y = \frac{x - 2x^2}{x^2 - x}$.
    Решение: Упростив функцию до $y = -2 - \frac{1}{x - 1}$, график имеет горизонтальную асимптоту $y = -2$. Ответ: $m = -2$.
    Ответ: $m = -2$.

  11. Решите уравнение $|3x - 2| - |5x - 3| - 2x = -1$.
    Решение: Рассматривая интервалы $x < 3/5$, $3/5 \leq x < 2/3$, $x \geq 2/3$, получим решение $x \leq \frac{3}{5}$.
    Ответ: $x \in (-\infty; 0{,}6]$.

  12. Решите неравенство $(x^2 + 4x + 3)\sqrt{x + 2} > 0$.
    Решение: Область определения $x \geq -2$, разложение $(x+1)(x+3)\sqrt{x+2} > 0$ $\implies$ $x \in (-1; \infty)$.
    Ответ: $x \in (-1; \infty)$.

  13. Найдите все пары целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющих $x^2 - 47 = y^2$.
    Решение: Разложив $x^2 - y^2 = 47$, получим $(x - y)(x + y) = 47$. Решения $\pm(24, 23)$.
    Ответ: $(\pm24, \pm23)$.

  14. Найдите длину большего основания $AD$ трапеции $ABCD$, где $AB = 4$, $BC = 2$, $\angle ABC = 120^\circ$, а диагональ $AC \perp CD$.
    Решение: По теореме косинусов в $\triangle ABC$: $AC = 2\sqrt{7}$. В прямоугольном $\triangle ACD$: $AD = AC \cdot \tan{\angle ACD}$. Учитывая $\angle ACD = 30^\circ$:
    Ответ: $AD = 4\sqrt{7}$.

  15. Найдите отношение объёмов бассейнов, если первоначально работали 7 труб, потом 3 переключили, затем ещё 2. Бассейны заполнились одновременно.
    Решение: Обозначив объёмы $V_1$, $V_2$, найдём отношение $\frac{V_1}{V_2} = \frac{16}{23}$. Ответ: $\frac{16}{23}$.
Материалы школы Юайти