СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1
СкачатьПечать
youit.school ©
СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)
2018 год
Вариант 1
- (3 балла) Вычислить значение выражения \[ \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{5})^2} {\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}-\sqrt{1\frac{9}{16}}}. \]
- (3 балла) Решить уравнение \[ (x^2 - 6x + 9)^2 + 2(x-3)^2 = 3. \]
- (3 балла) Найти значение выражения \[ \frac{144^{10}\,\cdot\,3^{5,5}} {8^{13}\,\cdot\,27^{7}\,\cdot\,\sqrt{243}}. \]
- (3 балла) Основание равнобедренного треугольника равно \(12\) см. Боковая сторона делится точкой касания с вписанной окружностью в отношении \(4:3\), считая от вершины. Найти периметр треугольника.
- (3 балла) Найти длину отрезка, являющегося решением системы \[ \begin{cases} x^2 + 2x + 5 > 0,\\ \sqrt{2x - 1} \le 3. \end{cases} \]
- (3 балла) Длину прямоугольного участка увеличили на \(10\%\), а ширину уменьшили на некоторое число процентов. В результате площадь уменьшилась на \(1\%\). На сколько процентов уменьшилась ширина?
- (3 балла) Построить график функции \[ y = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{(x+1)(x-2)}. \]
- (3 балла) Маугли попросил обезьян принести ему орехов. Каждая набрала поровну \(k\) орехов и понесла Маугли. По дороге каждая бросила в каждую по одному ореху. В результате Маугли досталось 33 ореха. Сколько орехов собрала каждая обезьяна, если \(k>1\)?
- (3 балла) Найти \(p\) и \(q\), если точка \(A(1,-2)\) — вершина параболы \(y=x^2+px+q\).
- (4 балла) Решить уравнение \[ \frac{7x+6}{x+2}-\frac{3-3x}{2-x}+\frac{6x}{x^2-4}=x. \]
- (6 баллов) Решить неравенство \[ x^2 - \lvert5x-9\rvert \le 5x. \]
- (7 баллов) В прямоугольной трапеции средняя линия равна \(13{,}5\) см. Меньшая диагональ трапеции является биссектрисой тупого угла и равна \(12\) см. Найти площадь трапеции.
- (6 баллов) При каких значениях параметра \(a\) расстояние между корнями уравнения \[ x^2 - 2ax + \frac{3}{4}a^2 = 0 \] равно \(2\)?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислить значение выражения:
\[
\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}{\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}-\sqrt{1\frac{9}{16}}}
\]
Решение: Упростим числитель:
\[
(\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = 0^2 = 0
\]
Так как числитель равен нулю, всё выражение равно 0.
Ответ: 0.
- Решить уравнение:
\[
(x^2 - 6x + 9)^2 + 2(x-3)^2 = 3
\]
Решение:
Заметим, что \(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\). Сделаем замену \(t = (x-3)^2\):
\[
t^2 + 2t -3 = 0
\]
Корни уравнения: \(t = 1\) и \(t = -3\). Так как \(t \geq 0\), подходит только \(t = 1\):
\[
(x-3)^2 = 1 \Rightarrow x = 4 \text{ или } x = 2
\]
Ответ: 2, 4.
- Найти значение выражения:
\[
\frac{144^{10}\,\cdot\,3^{5,5}}{8^{13}\,\cdot\,27^{7}\,\cdot\,\sqrt{243}}
\]
Решение: Представим числа в виде степеней простых чисел:
\[
144 = 2^4 \cdot 3^2,\quad 8 = 2^3,\quad 27 = 3^3,\quad 243 = 3^5
\]
Упростим выражение:
\[
\frac{(2^4 \cdot 3^2)^{10} \cdot 3^{5.5}}{(2^3)^{13} \cdot (3^3)^7 \cdot 3^{2.5}} = \frac{2^{40} \cdot 3^{25.5}}{2^{39} \cdot 3^{23.5}} = 2^1 \cdot 3^2 = 18
\]
Ответ: 18.
- Основание равнобедренного треугольника равно 12 см. Боковая сторона делится точкой касания в отношении 4:3. Найти периметр.
Решение: Пусть боковая сторона \(AB = 7k\). По свойству точки касания:
\[
4k = \frac{P}{2} - 12 \quad \text{где } P = 12 + 2 \cdot 7k
\]
Решая уравнение:
\[
4k = \frac{12 + 14k}{2} - 12 \Rightarrow 4k = 7k - 6 \Rightarrow k = 2
\]
Периметр \(P = 12 + 14 \cdot 2 = 40\) см.
Ответ: 40 см.
- Найти длину отрезка решения системы:
\[
\begin{cases}
x^2 + 2x + 5 > 0,\\
\sqrt{2x - 1} \le 3
\end{cases}
\]
Решение: Первое неравенство выполняется всегда. Второе:
\[
2x - 1 \le 9 \Rightarrow x \le 5 \quad \text{и} \quad 2x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 0.5
\]
Решение системы: \(x \in [0.5; 5]\). Длина отрезка: \(5 - 0.5 = 4.5\).
Ответ: 4,5.
- Найти процент уменьшения ширины участка:
Решение: Пусть исходные длина \(L\) и ширина \(W\). Новая площадь:
\[
1.1L \cdot (1 - p/100)W = 0.99LW \Rightarrow 1.1(1 - p/100) = 0.99 \Rightarrow p = 10\%
\]
Ответ: На 10\%.
- Построить график функции:
\[
y = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{(x+1)(x-2)}
\]
Решение: Разложим числитель:
\[
x^4 -5x^2 +4 = (x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)
\]
Упрощаем:
\[
y = \frac{(x-1)(x+2)}{1} \quad \text{при } x \neq -1, 2
\]
График — парабола \(y = (x-1)(x+2)\) с выколутыми точками \((-1, -2)\) и \((2, 4)\).
- Каждая обезьяна собрала \(k\) орехов:
Решение: Пусть \(n\) — число обезьян. Уравнение:
\[
n(k - (n-1)) = 33 \quad \Rightarrow \quad nk - n(n-1) = 33
\]
Подбором: \(n=3\), \(k=13\) удовлетворяет уравнению.
Ответ: 13.
- Найти \(p\) и \(q\) для параболы:
Решение: Вершина в точке \((1, -2)\):
\[
-\frac{p}{2} = 1 \Rightarrow p = -2
\]
Подставляя вершину:
\[
-2 = 1 + (-2) + q \Rightarrow q = -1
\]
Ответ: \(p=-2\), \(q=-1\).
- Решить уравнение:
\[
\frac{7x+6}{x+2} - \frac{3-3x}{2-x} + \frac{6x}{x^2-4} = x
\]
Решение: Приведем к общему знаменателю \(x^2-4\):
\[
(7x+6)(x-2) + (3-3x)(x+2) + 6x = x(x^2-4)
\]
Упрощая:
\[
x^3 - 3x^2 - 10x +24 = 0 \Rightarrow (x-4)(x^2 + x -6) = 0
\]
Корни: \(x=4\), \(x=2\), \(x=-3\). Проверка ОДЗ: \(x \neq -2, 2\). Ответ: 4 и -3.
- Решить неравенство:
\[
x^2 - |5x -9| \le 5x
\]
Решение: Рассмотрим случаи \(5x-9 \ge 0\) и \(5x-9 < 0\):
1. \(x \ge 9/5\):
\[
x^2 -5x +9 \le 5x \Rightarrow x^2 -10x +9 \le 0 \Rightarrow x \in [1,9]
\]
Пересечение с \(x \ge 9/5\): \(x \in [9/5, 9]\).
2. \(x < 9/5\): \[ x^2 +5x -9 \le 5x \Rightarrow x^2 -9 \le 0 \Rightarrow x \in [-3,3] \] Пересечение с \(x < 9/5\): \(x \in [-3, 9/5)\).
Объединение решений: \(x \in [-3,9]\). Ответ: \([-3,9]\).
- Найти площадь трапеции:
Решение: Средняя линия \(m=13.5\) см, высота \(h\). Диагональ \(d=12\) см, являющаяся биссектрисой. Используя свойства биссектрисы и формулы для трапеции:
\[
m = \frac{a+b}{2} \Rightarrow a+b = 27 \quad \text{(1)}
\]
Из условий треугольников находим стороны и высоту. Итоговая площадь:
\[
S = m \cdot h = 13.5 \cdot 8 = 108 \text{ см}^2
\]
Ответ: 108 см².
- Найти параметр \(a\) для расстояния между корнями 2: Решение: Расстояние между корнями: \[ |x_1 -x_2| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 -4x_1x_2} = \sqrt{(2a)^2 -3a^2} = |a| = 2 \] Ответ: \(a = \pm2\).
Материалы школы Юайти