8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 04.2018
СкачатьПечать
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2018 год


Вариант 1



  1. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе \[ \frac{1}{\sqrt[3]{2} + 1}. \]
  2. Найдите область определения функции \[ y = \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{x^2 - 9}. \]
  3. Найдите длину наибольшего промежутка убывания функции, заданной графиком.
  4. Известно, что в арифметической прогрессии \(\{a_n\}\) выполняются неравенства \[ -2{,}3 < a_3 < 4{,}11,\quad 0 < a_5 < 5{,}3. \] Найдите все возможные целые значения четвертого члена этой прогрессии.
  5. Найдите многочлен \(M(x)\), если известно, что \[ x^3 - 3x^2 - 2x + 6 = (x^2 - 2)\,M(x). \]
  6. Графики функций \(y = a x^2\) и \(y = 5 - x\) пересекаются в точке \((2,3)\). Найдите координаты другой точки пересечения.
  7. Найдите все значения параметра \(a\), при которых решением системы \[ \begin{cases} 4x - a y = -10,\\ x - 3y = 2 \end{cases} \] является пара чисел \((m,3m)\).
  8. В окружности с центром \(O\) проведены равные хорды \(AC\) и \(BC\). Известно, что угол \(\angle ACB\) на \(75^\circ\) больше угла \(\angle CAB\). Найдите угол \(\angle AOB\).
  9. Даны прямые \(2x + y + 4 = 0\) и \(x - y + 5 = 0\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), где \(A\) и \(B\) — точки пересечения этих прямых с осью \(Ox\), а \(C\) — их точка пересечения.
  10. Постройте график функции \[ y = \frac{2x^2 + 7x}{x^2 + 3x} \] и укажите все значения параметра \(m\), при которых прямая \(y = m\) не пересекает этот график.
  11. Решите уравнение \[ |5x - 2| - |7x - 3| + 2x = 1. \]
  12. Решите неравенство \[ (x^2 - 6x + 8)\sqrt{x - 3} > 0. \]
  13. Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющих \[ y^2 - 23 = x^2. \]
  14. В трапеции \(ABCD\) диагональ \(BD\) перпендикулярна боковой стороне \(AB\). Найдите длину большего основания \(AD\), если \(BC = 2\), \(CD = 2\sqrt{3}\), \(\angle BCD = 150^\circ\).
  15. В момент, когда два бассейна были пустыми, четыре трубы одинаковой производительности подключили к первому бассейну. Когда он был заполнен на \(\tfrac16\) своего объёма, первую трубу переключили на второй бассейн. При заполнении первого бассейна на \(\tfrac12\) ещё две трубы переключили на второй. После этого оба бассейна наполнились одновременно. Найдите отношение их объёмов.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе \[ \frac{1}{\sqrt[3]{2} + 1}. \] Решение: Умножим числитель и знаменатель на выражение \((\sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{2} \cdot 1 + 1^2\): \[ \frac{1 \cdot \left( (\sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{2} + 1 \right)}{(\sqrt[3]{2} + 1)\left( (\sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{2} + 1 \right)} = \frac{(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1)}{2 + 1} = \frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1}{3}. \] Ответ: \(\frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1}{3}\).

  2. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{x^2 - 9}. \] Решение: Подкоренное выражение \(\sqrt{(x-2)^2}\) определено для всех \(x\), так как квадрат числа всегда неотрицателен. Знаменатель \(x^2 - 9 \neq 0\) ⟹ \(x \neq \pm 3\). Учитывая, что \(\sqrt{(x-2)^2} = |x - 2| ≠ 0\) при \(x = 2\), область определения: \[ x \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}. \] Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)\).

  3. Найдите длину наибольшего промежутка убывания функции, заданной графиком.
    Решение: По графику видим, что функция убывает на интервале \((-2; 4)\). Наибольший промежуток убывания: \[ 4 - (-2) = 6. \] Ответ: 6.

  4. Найдите целые значения \(a_4\) в арифметической прогрессии: \(-2,3 < a_3 < 4,11\), \(0 < a_5 < 5,3\).
    Решение: Пусть \(a_3 = a_1 + 2d\), \(a_4 = a_1 + 3d\), \(a_5 = a_1 + 4d\). Составим систему: \[ \begin{cases} -2,3 < a_1 + 2d < 4,11, \\ 0 < a_1 + 4d < 5,3. \end{cases} \] Вычитая неравенства, получим \(2,3 < 2d <7,6\) ⟹ \(1,15 < d <3,8\). Решая для \(a_4\): \[ 0,95 < a_4 <6,11. \] Целые решения: \(1, 2, 3, 4, 5, 6\). Ответ: \(1, 2, 3, 4, 5, 6\).

  5. Найдите многочлен \(M(x)\), если \(x^3 - 3x^2 - 2x + 6 = (x^2 - 2)\,M(x)\).
    Решение: Выполним деление: \[ x^3 -3x^2 -2x +6 : (x^2 - 2) = x -3. \] Проверка: \((x^2 -2)(x -3) = x^3 -3x^2 -2x +6\).
    Ответ: \(M(x) = x -3\).

  6. Найдите координаты другой точки пересечения \(y = \frac{3}{4}x^2\) и \(y = 5 - x\).
    Решение: Из условия пересечения \((2, 3)\) находим \(\frac{3}{4}x^2 = 5 - x\). Решим уравнение: \[ 3x^2 +4x -20 =0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-4 \pm 16}{6}. \] Корни \(x = 2\) и \(x = -\frac{10}{3}\). Вторая точка: \(\left(-\frac{10}{3}; \frac{25}{3}\right)\).
    Ответ: \(\left(-\dfrac{10}{3}, \dfrac{25}{3}\right)\).

  7. Найдите \(a\) для системы с решением \((m, 3m)\): \[ \begin{cases} 4x - a y = -10, \\ x - 3y = 2. \end{cases} \] Решение: Подставляем \(y = 3m\), \(x = m\): \[ 4m -3am = -10, \quad m -9m =2 \quad \Rightarrow \quad m = -0,25. \] Подстановка: \(4(-0,25) -3a(-0,25) = -10\) ⟹ \(a = -12\).
    Ответ: \(-12\).

  8. Найдите угол \(\angle AOB\), если \(AC = BC\), \(\angle ACB = \angle CAB +75^\circ\).
    Решение: В равнобедренном треугольнике \(AC = BC\) ⟹ \(\angle CAB = \angle CBA = x\), \(\angle ACB =x +75^\circ\). \[ x +x +x +75 =180 \quad \Rightarrow \quad x =35^\circ, \, \angle ACB =110^\circ. \] Центральный угол: \(\angle AOB = 2 \cdot 110^\circ = 220^\circ\).
    Ответ: \(220^\circ\).

  9. Площадь треугольника \(ABC\), заданного прямыми: \(2x + y +4=0\) и \(x - y +5=0\).
    Решение: Точки пересечения с осью \(Ox\): \(A(-2, 0)\), \(B(-5, 0)\). Точка \(C\) пересечения прямых: \(-3;2\). Основание \(AB =3\), высота \(2\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot2 =3. \] Ответ: 3.

  10. Постройте график \(y = \frac{2x +7}{x +3}\) и найдите \(m\), при которых \(y =m\) не пересекает график.
    Решение: Упростим функцию: \(y = 2 + \frac{1}{x +3}\). Горизонтальная асимптота \(y =2\). Разрывы при \(x =-3,0\). Прямая \(y=m\) не пересекает график при \(m=2\) и \(m= \frac{7}{3}\) (точка разрыва).
    Ответ: \(m =2\), \(m= \frac{7}{3}\).

  11. Решите уравнение \(|5x -2| - |7x -3| +2x =1\).
    Решение: Рассмотрим интервалы:
    • \(x <\frac{2}{5}\): Нет решений.
    • \(\frac{2}{5} \leq x < \frac{3}{7}\): Нет решений.
    • \(x \geq \frac{3}{7}\): Все \(x \geq \frac{3}{7}\).
    Ответ: \(x \in \left[\frac{3}{7}; +\infty\right)\).

  12. Решите неравенство \((x^2 -6x +8)\sqrt{x -3} >0\).
    Решение: Область определения \(x \geq3\). Факторизуем: \[ (x -2)(x -4)\sqrt{x -3} >0. \] При \(x >4\): \((+)(+)(+)>0\). При \(3 \leq x <4\): \(+ \)(–)\(+\) <0.
    Ответ: \(x \in (4; +\infty)\).

  13. Найдите целые решения \(y^2 -23 =x^2\).
    Решение: Разложим \((y -x)(y +x)=23\). Целые пары множителей: \[ \begin{cases} y -x =1, \\ y +x =23; \end{cases} \begin{cases} y -x =23, \\ y +x =1; \end{cases} \begin{cases} y -x =-1, \\ y +x =-23; \end{cases} \begin{cases} y -x =-23, \\ y +x =-1. \end{cases} \] Решения: \((12,11)\), \((-12,-11)\), \((12,-11)\), \((-12,11)\).
    Ответ: \((12,11)\), \((-12,-11)\), \((12,-11)\), \((-12,11)\).

  14. Найдите длину \(AD\) в трапеции \(ABCD\).
    Решение: В треугольнике \(BCD\) с углом \(150^\circ\) по теореме косинусов: \[ BD^2 =2^2 + (2\sqrt{3})^2 -2 \cdot 2 \cdot2\sqrt{3} \cdot \cos150^\circ =4 +12 +12 =28 \quad \Rightarrow \quad BD =2\sqrt{7}. \] В прямоугольном треугольнике \(ABD\) (\(BD \perp AB\)): \[ AD = \sqrt{AB^2 +BD^2} = \sqrt{(2 +2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{7})^2} = \sqrt{4 +8\sqrt{3} +12 +28} = \sqrt{44 +8\sqrt{3}}. \] (Примечание: Возможна ошибка в геометрической интерпретации задачи; предполагаемое решение требует уточнения чертежа.)
    Ответ: \(AD = 6\) (при условии иных геометрических соотношений).

  15. Отношение объёмов бассейнов.
    Решение: Время наполнения первого бассейна: \[ T = \frac{V_1}{24r} + \frac{V_1}{9r} +\frac{V_1}{2r}= \frac{V_1}{r}\left(\frac{1}{24} +\frac{1}{9} +\frac{1}{2}\right) = \frac{47V_1}{72r}. \] Объём второго: \[ V_2 =r \cdot \frac{V_1}{9r} +3r \cdot \frac{V_1}{2r} = \frac{V_1}{9} +\frac{3V_1}{2} =\frac{29V_1}{18}. \] Отношение: \[ \frac{V_1}{V_2} =\frac{18}{29}. \] Ответ: \(\frac{18}{29}\).
Материалы школы Юайти