СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2017 год вариант 2 алгебра

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)

2017 год

Вариант 2

1. (6 баллов) Имеется 9 билетов на балкон и 6 билетов в партер на спектакль. Сколькими способами их можно распределить между 15 людьми (учитывая пожелания), если четверо хотят сидеть только на балконе, пятеро — только в партере, а остальным всё равно, где сидеть? (В каждом билете указаны следующие данные: номер ряда, номер места, партер или балкон.)
   
   
2. (4 балла) В классе 20 учеников. Докажите, что при любой раздаче 180 конфет всегда найдутся хотя бы два ученика, получивших одинаковое количество конфет.
   
   
3. (4 балла) Решите методом интервалов неравенство \[ \frac{(x - 3)\,(x + 1)^2}{8 - x^2 + 2x} \ge 0. \]
   
   
4. 1. (8 баллов) Изобразите на плоскости $Oxy$ множество всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству \[ (y - x + 4)\,(y + x - 2)\,\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 1)^2 - 2} \ge 0. \]
      
      
   2. (3 балла) Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство \[ (a - x + 4)\,(a + x - 2)\,\sqrt{(x - 3)^2 + (a + 1)^2 - 2} \ge 0 \] имеет бесконечное множество решений.

Решения задач

1. Сначала распределим билеты для групп с предпочтениями:
   • Для 4 желающих на балкон: $A_9^4 = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$ способов.
   • Для 5 желающих в партер: $A_6^5 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720$ способов.
   Остаётся $9 - 4 = 5$ балконных и $6 - 5 = 1$ партерный билеты (всего 6 билетов) для 6 человек без предпочтений. Их можно распределить $6! = 720$ способами.
   Итоговое число способов: \[ 3024 \cdot 720 \cdot 720 = 3024 \cdot 720^2 = 3024 \cdot 518400 = 1\ 566\ 080\ 000. \] Ответ: 1\ 566\ 080\ 000.
   
   
2. Применим принцип Дирихле. Если бы все 20 учеников получали разное количество конфет, минимальная сумма конфет составила бы: \[ 0 + 1 + 2 + \ldots + 19 = \frac{19 \cdot 20}{2} = 190 > 180. \] Сумма 190 превышает 180, поэтому минимум два ученика получат одинаковое количество конфет.
   Ответ: Доказано.
   
   
3. Преобразуем неравенство: \[ \frac{(x-3)(x+1)^2}{-(x^2-2x-8)} \ge 0 \Rightarrow \frac{(x-3)(x+1)^2}{(x-4)(x+2)} \le 0. \] Нули числителя: $x = 3$, $x = -1$ (кратность 2). Нули знаменателя: $x = 4$, $x = -2$. Метод интервалов даёт решение: \[ x \in (-\infty; -2) \cup \{-1\} \cup [3; 4). \] Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup \{-1\} \cup [3; 4)$.
   
   
4. 1. Неравенство задаёт объединение:
      • Областей, где $(y - x + 4)(y + x - 2) \ge 0$ вне окружности $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 2$.
      • Саму окружность $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 2$.
      Первое условие соответствует точкам выше обеих прямых $y = x - 4$ и $y = -x + 2$ или ниже обеих прямых. Второе условие включает граничную окружность. Графически это две пересекающиеся прямые, формирующие четыре угловые области, из которых выбираются две противоположные, а также окружность.
      
      
   2. Неравенство имеет бесконечное число решений, если график пересекает область решений по линии. Это возможно, если $a = -1$, так как окружность центром в $(3; -1)$. Это обеспечивает бесконечное пересечение при $a = -1$.
      Ответ: $a = -1$.