8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2017 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 05.2017
СкачатьПечать
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2017 год


Вариант 2



  1. (2 балла) Вычислите значение выражения \[ \frac{(\sqrt{40} - 7)\,\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{\sqrt{15} - \sqrt{6}}. \]
  2. (2 балла) Решите уравнение \[ \frac{\lvert x + 1\rvert}{x} = 3. \]
  3. (2 балла) Какой угол в градусах образуют минутная и часовая стрелки в четыре часа утра?
  4. (2 балла) Разность двух чисел равна 6. Найдите большее из них, если $25\%$ одного из них равны $85\%$ другого.
  5. (2 балла) Найдите значение выражения \[ \frac{z + 2y - 4x}{5x - 3y + 8z}, \] если $x:y:z = 3:1:2$.
  6. (2 балла) В прямоугольном треугольнике $ABC$ из середины гипотенузы $AB$ (точка $E$) опущен перпендикуляр $EK$ к гипотенузе. Найдите катет $BC$, если $AK = 5$, $KE = 4$.
  7. (2 балла) Решите уравнение \[ \bigl\lvert\lvert y - 3\rvert - 1\bigr\rvert = 5. \]
  8. (2 балла) Парабола $y = x^2 + x - a$ и прямая $y = ax - 1$ имеют единственную общую точку. Найдите $a$.
  9. (2 балла) Вычислите значение выражения \[ 2(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1) - 3^{16}. \]


Часть C

  1. (8 баллов) Решите неравенство \[ \frac{(x - 3)^3}{x - 2} < \frac{x^3 - 9x^2}{x - 2}. \]
  2. (8 баллов) Решите уравнение \[ 2x^4 + 3x^3 - 8x^2 - 12x = 0. \]
  3. (9 баллов) Один из корней уравнения \[ x^2 - x + q = 0 \] на 4 больше другого. Найдите корни уравнения и значение $q$.
  4. (9 баллов) Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной трапеции, перпендикулярны. Большее основание трапеции равно 10, боковая сторона равна $3\sqrt{2}$. Найдите площадь трапеции.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите значение выражения \[ \frac{(\sqrt{40} - 7)\,\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}{\sqrt{15} - \sqrt{6}}. \]
    Решение:
    Упростим компоненты выражения: \[ \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}, \] \[ \sqrt{40} = 2\sqrt{10}. \] Подставляя в числитель: \[ (2\sqrt{10} - 7)(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{50} + 2\sqrt{20} - 7\sqrt{5} - 7\sqrt{2} = 10\sqrt{2} + 4\sqrt{5} - 7\sqrt{5} - 7\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 3\sqrt{5}. \] Знаменатель: \[ \sqrt{15} - \sqrt{6} = \sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2}). \] Получаем: \[ \frac{3(\sqrt{2} - \sqrt{5})}{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{-3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}. \] Ответ: \(-\sqrt{3}\).

  2. Решите уравнение \[ \frac{\lvert x + 1\rvert}{x} = 3. \]
    Решение:
    Рассмотрим два случая:
    1. \(x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\), тогда \(\lvert x + 1\rvert = x + 1\): \[ \frac{x + 1}{x} = 3 \Rightarrow x + 1 = 3x \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}. \] Проверка: \(\frac{\lvert \frac{1}{2} + 1 \rvert}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3\). Верно.
    2. \(x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1\), тогда \(\lvert x + 1\rvert = -x - 1\): \[ \frac{-x - 1}{x} = 3 \Rightarrow -x - 1 = 3x \Rightarrow 4x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}. \] Не удовлетворяет \(x < -1\).
    Ответ: \(\frac{1}{2}\).

  3. Какой угол в градусах образуют минутная и часовая стрелки в четыре часа утра?
    Решение:
    Часовая стрелка на 4, минутная на 12. Каждый час соответствует \(30^\circ\). За 4 часа: \(4 \times 30^\circ = 120^\circ\).
    Ответ: \(120^\circ\).

  4. Разность двух чисел равна 6. Найдите большее из них, если \(25\%\) одного равны \(85\%\) другого.
    Решение:
    Пусть числа \(a\) и \(b\), \(a > b\): \[ a - b = 6, \quad 0.25a = 0.85b \Rightarrow a = 3.4b. \] Подставим: \[ 3.4b - b = 6 \Rightarrow 2.4b = 6 \Rightarrow b = 2.5, \quad a = 8.5. \] Ответ: \(8.5\).

  5. Найдите значение выражения \[ \frac{z + 2y - 4x}{5x - 3y + 8z}, \] если \(x:y:z = 3:1:2\).
    Решение:
    Пусть \(x = 3k\), \(y = k\), \(z = 2k\): \[ \frac{2k + 2k - 12k}{15k - 3k + 16k} = \frac{-8k}{28k} = -\frac{2}{7}. \] Ответ: \(-\frac{2}{7}\).

  6. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) из середины гипотенузы \(AB\) опущен перпендикуляр \(EK\) к гипотенузе. Найдите катет \(BC\), если \(AK = 5\), \(KE = 4\).
    Решение:
    \(AE = \sqrt{AK^2 + KE^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}\). \(AB = 2\sqrt{41}\).
    Площадь треугольника: \[ \frac{AB \times EK}{2} = \frac{2\sqrt{41} \times 4}{2} = 4\sqrt{41}. \] Катет \(BC\) находим через теорему Пифагора: \[ BC^2 + AC^2 = (2\sqrt{41})^2, \quad BC \times AC = 8\sqrt{41}. \] Решая систему, \(BC = 8\).
    Ответ: \(8\).

  7. Решите уравнение \[ \bigl\lvert\lvert y - 3\rvert - 1\bigr\rvert = 5. \]
    Решение:
    \[ \lvert y - 3\rvert - 1 = 5 \Rightarrow \lvert y - 3\rvert = 6 \Rightarrow y = 9 \text{ или } y = -3, \] \[ \lvert y - 3\rvert - 1 = -5 \Rightarrow \lvert y - 3\rvert = -4 \text{ (нет решений)}. \] Ответ: \(-3; 9\).

  8. Парабола \(y = x^2 + x - a\) и прямая \(y = ax - 1\) имеют единственную общую точку. Найдите \(a\).
    Решение:
    Уравнение \(x^2 + x - a = ax - 1\): \[ x^2 + (1 - a)x + (1 - a) = 0. \] Дискриминант равен нулю: \[ (1 - a)^2 - 4(1 - a) = 0 \Rightarrow (1 - a)(-3 - a) = 0 \Rightarrow a = 1 \text{ или } a = -3. \] Ответ: \(1; -3\).

  9. Вычислите значение выражения \[ 2(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1) - 3^{16}. \]
    Решение:
    Используя формулу \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\): \[ (3 - 1)(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1) = 3^{16} - 1. \] Тогда выражение: \[ 2 \times \frac{3^{16} - 1}{3 - 1} - 3^{16} = (3^{16} - 1) - 3^{16} = -1. \] Ответ: \(-1\).



Часть C

  1. Решите неравенство \[ \frac{(x - 3)^3}{x - 2} < \frac{x^3 - 9x^2}{x - 2}. \]
    Решение:
    Приводим к виду: \[ \frac{(x - 3)^3 - x^2(x - 9)}{x - 2} < 0 \Rightarrow \frac{27(x - 1)}{x - 2} < 0. \] Решая методом интервалов:
    Ответ: \(x \in (1; 2)\).

  2. Решите уравнение \[ 2x^4 + 3x^3 - 8x^2 - 12x = 0. \]
    Решение:
    Выносим \(x\): \[ x(2x^3 + 3x^2 - 8x - 12) = 0. \] Подбором корней: \begin{align} 2x^3 + 3x^2 - 8x - 12 &= (x - 2)(2x^2 + 7x + 6) \\ &= (x - 2)(2x + 3)(x + 2). \end{align} Ответ: \(0; 2; -2; -\frac{3}{2}\).

  3. Один из корней уравнения \(x^2 - x + q = 0\) на 4 больше другного. Найдите корни уравнения и значение \(q\).
    Решение:
    Корни: \(x_1\) и \(x_1 + 4\): \[ x_1 + x_1 + 4 = 1 \Rightarrow x_1 = -1.5, \quad x_2 = 2.5. \] \[ q = x_1 x_2 = -1.5 \times 2.5 = -3.75. \] Ответ: корни \(-1.5\) и \(2.5\); \(q = -\frac{15}{4}\).

  4. Площадь равнобедренной трапеции с взаимно перпендикулярными боковыми сторонами равна \(21\sqrt{2}\).
    Решение:
    Высота трапеции \(h = 3\sqrt{2}\). Основания \(a = 10\), \(b = 4\). Площадь: \[ \frac{a + b}{2} h = \frac{10 + 4}{2} \times 3\sqrt{2} = 21\sqrt{2}. \] Ответ: \(21\sqrt{2}\).
Материалы школы Юайти