СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2017 год вариант 1 алгебра

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)

2017 год

Вариант 1

1. (6 баллов) Имеется 8 билетов на балкон и 7 билетов в партер на спектакль. Сколькими способами их можно распределить между 15 людьми (учитывая пожелания), если семеро хотят сидеть только на балконе, четверо — только в партере, а остальным всё равно, где сидеть? (В каждом билете указаны следующие данные: номер ряда, номер места, партер или балкон.)
   
   
2. (4 балла) Шестнадцать девочек собрали 105 грибов. Докажите, что какие-то две из них собрали одинаковое количество грибов.
   
   
3. (4 балла) Решите методом интервалов неравенство \[ \frac{(x + 2)(x - 1)^2}{12 - x^2 - x} \le 0. \]
   
   
4. 1. (8 баллов) Изобразите на плоскости $Oxy$ множество всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству \[ (y - x + 1)(y + x - 3)\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2 - 2} \ge 0. \]
      
      
   2. (3 балла) Найдите все значения параметра $b$, при которых неравенство \[ (b - x + 1)(b + x - 3)\sqrt{(x - 2)^2 + (b - 1)^2 - 2} \ge 0 \] имеет конечное множество решений.

Решения задач

1. Семь человек, желающих сидеть на балконе, получат 7 из 8 билетов. Один балконный билет останется для пятерых без предпочтений. Четверо, желающих партер, получат 4 из 7 билетов. Остальные 3 партерных и 1 балконный билет распределяются между пятью людьми без предпочтений. Количество способов: $$ C(8,7) \cdot 7! \cdot C(7,4) \cdot 4! \cdot C(5,4) \cdot 4! = 8 \cdot 5040 \cdot 35 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 24 = 82944000 $$ Ответ: 82944000.
2. Минимальная сумма 16 различных чисел от 0 до 15 равна 120. Поскольку 105 < 120, по принципу Дирихле обязательно есть повторения. Ответ: доказано.
3. Найдём нули числителя и знаменателя: \begin{align} (x+2)(x-1)^2 &=0 \Rightarrow x=-2, \; x=1 \; (\text{кратность 2}) \\ 12-x^2-x &=0 \Rightarrow x=3, \; x=-4 \end{align} Знаки выражения:
   • При \(x \in (-\infty, -4)\): \(+\)
   • При \(x \in (-4, -2)\): \(-\)
   • При \(x \in (-2, 1)\): \(+ \)
   • При \(x \in (1, 3)\): \(-\)
   • При \(x \in (3, \infty)\): \(+\)
   Решение: \(x \in (-4, -2] \cup \{1\} \cup (3, \infty)\). Ответ: \(x \in (-4, -2] \cup \{1\} \cup (3, \infty)\).
4. 1. Множество состоит из:
      • Окружности \((x-2)^2 + (y-1)^2 = 2\)
      • Областей вне окружности, где \((y - x +1)(y +x -3) \geq 0\)
      График включает окружность и две области вне её, ограниченные прямыми \(y = x -1\) и \(y = -x +3\).
   2. Уравнение имеет конечное множество решений только при \(b =1\), когда выражение принимается только в двух точках окружности. Ответ: \(b =1\).