СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2017 год вариант 1

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)

2017 год

Вариант 1

1. (2 балла) Вычислите значение выражения \[ \frac{(\sqrt{14} + \sqrt{6})\,(\sqrt{21} - 5)}{\sqrt{10 - 2\sqrt{21}}}. \]
2. (2 балла) Решите уравнение \[ \frac{\lvert x - 1\rvert}{x} = 2. \]
3. (2 балла) Какой угол в градусах образуют минутная и часовая стрелки в семь часов утра?
4. (2 балла) Сумма двух чисел равна 24. Найдите меньшее из них, если $35\%$ одного из них равны $85\%$ другого.
5. (2 балла) Найдите значение выражения \[ \frac{3x + 2y + z}{2x - 3y - z}, \] если $x:y:z = 2:1:3$.
6. (2 балла) В прямоугольном треугольнике $ABC$ из середины катета $AC$ (точка $D$) опущен перпендикуляр $DE$ к гипотенузе $AB$. Найдите длину $AB$, если $DE = 4$, $AE = 3$.
7. (2 балла) Решите уравнение \[ \bigl\lvert\lvert x - 2\rvert - 3\bigr\rvert = 7. \]
8. (2 балла) Парабола $y = x^2 + x + a$ и прямая $y = ax + 1$ имеют единственную общую точку. Найдите $a$.
9. (2 балла) Вычислите значение выражения \[ 216 - (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1). \]

1. (8 баллов) Решите неравенство \[ \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x + 2} > \frac{x^3 - x}{x + 2}. \]
2. (8 баллов) Решите уравнение \[ 2x^4 - 5x^3 - 18x^2 + 45x = 0. \]
3. (9 баллов) Один из корней уравнения \[ x^2 + 2x + q = 0 \] в 6 раз больше другого. Найдите корни уравнения и значение $q$.
4. (9 баллов) Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной трапеции, перпендикулярны. Меньшее основание трапеции равно 2, боковая сторона равна $2\sqrt{2}$. Найдите площадь трапеции.

Решения задач

1. Вычислите значение выражения \[ \frac{(\sqrt{14} + \sqrt{6})(\sqrt{21} - 5)}{\sqrt{10 - 2\sqrt{21}}}. \] Решение: Выделим точный квадрат в знаменателе: \[ \sqrt{10 - 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{7} - \sqrt{3}. \] Преобразуем числитель, раскрыв скобки: \[ (\sqrt{14} + \sqrt{6})(\sqrt{21} - 5) = (2\sqrt{6} - 2\sqrt{14}). \] Подставим и упростим: \[ \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{14})}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{42} -7\sqrt{2})}{4} = -\sqrt{2}. \] Ответ: $-\sqrt{2}$.
2. Решите уравнение \[ \frac{\lvert x - 1\rvert}{x} = 2. \] Решение: Рассмотрим два случая: 1. \( x \geq 1 \): \[ \frac{x - 1}{x} = 2 \implies -1 = x \quad (\text{нет решений}). \] 2. \( x < 1 \): \[ \frac{1 - x}{x} = 2 \implies 1 - x = 2x \implies x = \frac{1}{3}. \] Проверка: \( x = \frac{1}{3} \neq 0 \) — верно. Ответ: \( x = \frac{1}{3} \).
3. Какой угол в градусах образуют минутная и часовая стрелки в семь часов утра? Решение: Часовая стрелка на 7, минутная на 12. Каждый час соответствует \( 30^\circ \). Разница в 7 часов: \[ 7 \times 30^\circ = 210^\circ. \] Наименьший угол: \( 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ \). Ответ: \( 150^\circ \).
4. Сумма двух чисел равна 24. Найдите меньшее из них, если \( 35% \) одного равны \( 85% \) другого. Решение: Пусть числа \( a \) и \( b \): \[ \begin{cases} a + b = 24, \\ 0.35a = 0.85b. \end{cases} \] Выразим \( a = \frac{17}{7}b \). Подставим в сумму: \[ \frac{17}{7}b + b = 24 \implies b = 7, \quad a = 17. \] Ответ: \( 7 \).
5. Найдите значение выражения \[ \frac{3x + 2y + z}{2x - 3y - z}, \] если \( x:y:z = 2:1:3 \). Решение: Подставим \( x = 2k \), \( y = k \), \( z = 3k \): \[ \text{Числитель: } 3(2k) + 2k + 3k = 11k, \quad \text{Знаменатель: } 2(2k) - 3k -3k = -2k. \] Результат: \( \frac{11k}{-2k} = -\frac{11}{2} \). Ответ: \( -\frac{11}{2} \).
6. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) из середины катета \( AC \) (точка \( D \)) опущен перпендикуляр \( DE \) к гипотенузе \( AB \). Найдите длину \( AB \), если \( DE = 4 \), \( AE = 3 \). Решение: Обозначим \( AC = 2a \). Через координаты и свойства подобных треугольников получим: \[ a = 5, \quad AB = \sqrt{(2a)^2 + b^2} = \frac{50}{3}. \] Ответ: \( \frac{50}{3} \).
7. Решите уравнение \[ \bigl\lvert\lvert x - 2\rvert - 3\bigr\rvert = 7. \] Решение: Рассмотрим случаи: 1. \( \lvert x - 2\rvert -3 = 7 \implies \lvert x - 2 \rvert = 10 \implies x = 12 \) или \( x = -8 \). 2. \( \lvert x - 2\rvert -3 = -7 \implies \lvert x -2 \rvert = -4 \quad (\text{нет решений}) \). Ответ: \( x = 12 \), \( x = -8 \).
8. Парабола \( y = x^2 + x + a \) и прямая \( y = ax + 1 \) имеют единственную общую точку. Найдите \( a \). Решение: Приравняем выражения: \[ x^2 + (1 - a)x + (a -1) = 0. \] Дискриминант: \[ D = (1 - a)^2 - 4(a -1) = a^2 -6a +5 = 0 \implies a = 1, 5. \] Ответ: \( a = 1 \), \( a =5 \).
9. Вычислите значение выражения \[ 216 - (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1). \] Решение: Умножив на \( 2 - 1 \), получим: \[ (2^{16} -1) - 216 = 65535 - 216 = 65319. \] Ответ: \( -65319 \).
10. Решите неравенство \[ \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x + 2} > \frac{x^3 - x}{x + 2}. \] Решение: Упростим левую часть: \[ \frac{x^3 +1 -x^3 +x}{x +2} >0 \implies \frac{x +1}{x +2} >0 \implies x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty). \] Ответ: \( (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty) \).
11. Решите уравнение \[ 2x^4 -5x^3 -18x^2 +45x =0. \] Решение: Вынесем \( x \): \[ x(2x^3 -5x^2 -18x +45)=0. \] Корни кубического: \( x =3 \), \( x =-\frac{5}{2} \), \( x=-3 \). Ответ: \( x = 0 \), \( x =3 \), \( x = -3 \), \( x = \frac{5}{2} \).
12. Один из корней уравнения \[ x^2 + 2x + q =0 \] в 6 раз больше другого. Найдите корни и \( q \). Решение: Пусть \( x_2 =6x_1 \): \[ x_1 +6x_1 = -2 \implies x_1 = -\frac{2}{7}, \quad x_2 = -\frac{12}{7}, \quad q =\frac{24}{49}. \] Ответ: Корни \( -\frac{2}{7} \), \( -\frac{12}{7} \); \( q =\frac{24}{49} \).
13. Найдите площадь трапеции с боковыми сторонами \( 2\sqrt{2} \), перпендикулярными основаниям. Решение: Верхнее основание \( CD =6 \), нижнее \( AB=2 \), высота \( h=2 \): \[ S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h =8. \] Ответ: \( 8 \).