СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2016 год вариант 2

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)

2016 год

Вариант 2

1. Вычислить \(\displaystyle\frac{(\sqrt{8}+\sqrt{10})\sqrt{32}}{(2-\sqrt{5})^2}.\)
2. Сократить дробь \(\displaystyle\frac{5y - 5x - 1}{x + y + 5x^2 - 5y^2}.\)
3. Бананы подорожали на 30%. Сколько бананов можно теперь купить на те же деньги, на которые раньше покупали 2,6 кг?
4. В какой точке прямая, проходящая через точки \(A(24;-3)\) и \(B(-28;10)\), пересекает ось \(OX\)?
5. В треугольнике \(ABC\)\ \(\angle C=90^\circ\), \(\angle B=30^\circ\), \(BC=6\). Найти радиус описанной окружности.
6. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{x} + \displaystyle\frac{1}{y} = \displaystyle\frac{3}{8},\\ x + y = 12. \end{cases} \]
7. Решить уравнение \( \bigl|\,|x^2 - 5| - 1\bigr| = 3.\)
8. Решить неравенство \(\displaystyle\frac{4 + x^2}{x + 1} > \frac{1}{2}.\)
9. Площадь равностороннего треугольника равна \(4\sqrt{3}\). Найти его медиану.

1. Упростить выражение \[ \frac{\sqrt{2 - a} - 5\sqrt{2 + a}}{5\sqrt{4 - a^2}} \;-\; 1. \]
2. Решить уравнение \[ 2x^4 + 3x^3 - 8x^2 - 12x = 0. \]
3. При каких значениях \(a\) расстояние между корнями уравнения \[ x^2 - 3ax + \frac{5}{4}a^2 = 0 \] равно \(2\)?
4. Одна из двух параллельных прямых пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) параллелограмма \(ABCD\) в точках \(K\) и \(L\), а другая — стороны \(CD\) и \(AD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Найти отношение \(DM:MC\), если \(AK:KB=1:2\), \(BL:LC=2:3\) и \(AN:ND=4:1\).

Решения задач

1. Вычислить \(\displaystyle\frac{(\sqrt{8}+\sqrt{10})\sqrt{32}}{(2-\sqrt{5})^2}.\)
   Решение: \[ \frac{(\sqrt{8}+\sqrt{10})\sqrt{32}}{(2-\sqrt{5})^2} = \frac{(2\sqrt{2} + \sqrt{10}) \cdot 4\sqrt{2}}{9 - 4\sqrt{5}} = 304 + 136\sqrt{5}. \] Ответ: \(304 + 136\sqrt{5}\).
   
   
2. Сократить дробь \(\displaystyle\frac{5y - 5x - 1}{x + y + 5x^2 - 5y^2}.\)
   Решение: Знаменатель раскладывается как \((x + y)(5x - 5y + 1)\). Числитель остаётся \(-5(x - y) - 1\). Дробь несократима.
   Ответ: \(\frac{5y - 5x - 1}{x + y + 5x^2 - 5y^2}\).
   
   
3. Бананы подорожали на 30%. Теперь на те же деньги можно купить:
   Решение: Новая цена \(1,3\) от исходной. Количество: \[ \frac{2,6}{1,3} = 2 \text{ кг}. \] Ответ: 2 кг.
   
   
4. Прямая через \(A(24;-3)\) и \(B(-28;10)\) пересекает \(OX\):
   Решение: Уравнение прямой \(y = -\frac{1}{4}x + 3\). При \(y = 0\), \(x = 12\).
   Ответ: \((12; 0)\).
   
   
5. Радиус описанной окружности треугольника:
   Решение: Гипотенуза \(AB = 4\sqrt{3}\). Радиус \(R = 2\sqrt{3}\).
   Ответ: \(2\sqrt{3}\).
   
   
6. Система уравнений: \[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8}, \\ x + y = 12. \end{cases} \] Решение: Подстановка \(y = 12 - x\) даёт \(x = 8\), \(y = 4\) и наоборот.
   Ответ: \((8;4)\), \((4;8)\).
   
   
7. Уравнение \(\bigl|\,|x^2 - 5| - 1\bigr| = 3\):
   Решение: Раскрывая модули, получаем \(x = \pm3\), \(x = \pm1\).
   Ответ: \(\pm3\), \(\pm1\).
   
   
8. Неравенство \(\frac{4 + x^2}{x + 1} > \frac{1}{2}\):
   Решение: При \(x > -1\) неравенство верно. Ответ: \(x \in (-1; +\infty)\).
   
   
9. Медиана равностороннего треугольника:
   Решение: Сторона \(a = 4\), медиана \(2\sqrt{3}\).
   Ответ: \(2\sqrt{3}\).
   
   
10. Упростить выражение: \[ \frac{\sqrt{2 - a} - 5\sqrt{2 + a}}{5\sqrt{4 - a^2}} - 1 = -\sqrt{\frac{2 + a}{2 - a}}. \] Ответ: \(-\sqrt{\frac{2 + a}{2 - a}}\).
    
    
11. Решить уравнение \(2x^4 + 3x^3 - 8x^2 - 12x = 0\):
    Решение: Корни \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = -1,5\), \(x = -2\).
    Ответ: \(0\); \(2\); \(-1,5\); \(-2\).
    
    
12. Значения \(a\) для расстояния 2 между корнями:
    Решение: \(|a| = 1\). Ответ: \(a = \pm1\).
    
    
13. Отношение \(DM:MC\):
    Решение: Точка \(M\) делит \(CD\) как \(1:2\).
    Ответ: \(1:2\).