СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2016 год вариант 2

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)

2016 год

Вариант 2

1. Какую цифру нужно дописать в конец числа \(12468\), чтобы получившееся число делилось на \(18\)?
2. Решите уравнение: \[ \frac{(2x - 1)(2x + 1)}{x - 1} = 1 - 2x. \]
3. В окружности проведены хорды \(AB\) и \(AC\), образующие угол \(70^\circ\). Через точки \(B\) и \(C\) проведены касательные к окружности, пересекающиеся в точке \(K\). Найдите угол \(\angle BKC\).
4. Решите неравенство: \[ (y - 1)\,\sqrt{3 + 2y - y^2} \;\le\; 0. \]
5. Девятикласснице Свете нужно 50 секунд, чтобы спуститься пешком по едущему вниз эскалатору. Движущийся эскалатор опускает её, стоящую на ступеньке, за 70 секунд. Сколько секунд нужно Свете, чтобы спуститься пешком по неподвижному эскалатору?
6. Упростите выражение: \[ \sqrt[3]{a - 1}\,\sqrt[3]{a^2}\,\sqrt[3]{a}\,\sqrt{(a+1)^2 - 4a}, \quad 0 < a < 1. \]
7. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, равна 21, а радиус вписанной окружности равен 9. Найдите площадь треугольника.
8. Решите уравнение: \[ 2\,|x + 1| + |2x - 3| = 5. \]
9. Ученики 9Е класса написали тест. Если бы каждая девочка получила на 5 баллов больше, то средний результат класса был бы на 2 балла выше. Сколько процентов составляют в этом классе мальчики?
10. Высота треугольника, проведённая к основанию, равна 24. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найти длину части высоты, заключённой между основанием и этой прямой.
11. Постройте график функции \[ y = \frac{x}{x^2 + 2x} \] и определите, при каких значениях параметра \(a\) прямая \(y = a\) не имеет с графиком общих точек.

1. Решите систему \[ \begin{cases} xy + x + y = 5,\\ x^2y + xy^2 = 6. \end{cases} \]
2. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ (2a + 3)x^2 + 2(a + 3)x + 3 = 0 \] имеет ровно одно решение.
3. Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Диагональ \(BD\) является биссектрисой угла \(\angle ABC\) и пересекается с диагональю \(AC\) в точке \(N\). Найдите \(AD\), если \(BN = 12\) и \(ND = 3\).
4. Соня пригласила Никиту в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире номер 333, а этаж не сказала. Дом девятиэтажный, номера квартир начинаются с 1, на всех этажах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Соня?

Решения задач

1. Какую цифру нужно дописать в конец числа \(12468\), чтобы получившееся число делилось на \(18\)?
   Решение: Число делится на 18, если делится на 2 и 9. Последняя цифра 8 чётная, условие делимости на 2 выполнено. Сумма цифр исходного числа: \(1 + 2 + 4 +6 +8 =21\). Для делимости на 9 сумма должна быть кратна 9. Найдём такую цифру \(d\): \(21 +d =27 \Rightarrow d=6\).
   Ответ: 6.
2. Решите уравнение: \[ \frac{(2x - 1)(2x + 1)}{x - 1} = 1 - 2x. \]
   Решение: Упростим левую часть: \(\frac{4x^2 -1}{x -1}\). Перенесём все слагаемые влево и преобразуем: \[ \frac{4x^2 -1 - (1 - 2x)(x -1)}{x -1} = 0 \Rightarrow \frac{x^2 + x}{x -1} =0 \Rightarrow x(x +1)=0. \] Решения: \(x=0\) и \(x=-1\). Проверка: \(x=1\) исключено, корни верны.
   Ответ: 0; -1.
3. Через точки \(B\) и \(C\) проведены касательные к окружности, пересекающиеся в точке \(K\). Найдите угол \(\angle BKC\).
   Решение: Угол между хордами \(AB\) и \(AC\) равен 70°, значит дуга \(BC\) равна \(140^\circ\). Угол между касательными: \(\angle BKC = \frac{180^\circ -140^\circ}{2} =20^\circ\).
   Ответ: \(20^\circ\).
4. Решите неравенство: \[ (y - 1)\,\sqrt{3 + 2y - y^2} \;\le\; 0. \]
   Решение: ОДЗ: \(3 + 2y - y^2 \ge0 \Rightarrow y \in [-1;3]\). Неравенство выполняется при \(y \le1\). Учитывая ОДЗ: \(y \in [-1;1]\).
   Ответ: \([-1;1]\).
5. Свете нужно 50 с. спуститься по движущемуся эскалатору и 70 с. стоя. Найти время спуска по неподвижному.
   Решение: Пусть длина эскалатора \(L\), скорость Светы \(v\), скорость эскалатора \(u\). Получаем систему: \[ \begin{cases} \frac{L}{v + u} =50, \\ \frac{L}{u} =70. \end{cases} \] Из второго уравнения \(u = \frac{L}{70}\). Подставляя в первое: \[ \frac{L}{v + \frac{L}{70}} =50 \Rightarrow v = \frac{L}{35}. \] Время спуска по неподвижному эскалатору: \(\frac{L}{v} =35\) с.
   Ответ: 35.
6. Упростите выражение: \[ \sqrt[3]{a - 1}\,\sqrt[3]{a^2}\,\sqrt[3]{a}\,\sqrt{(a+1)^2 - 4a}, \quad 0 < a < 1. \]
   Решение: Объединяем корни: \(\sqrt[3]{(a -1)a^3} = \sqrt[3]{a^4 -a^3}\). Под корнем квадратным: \((a -1)^2\). Учитывая \(0 <a <1\): \((1 -a)\cdot |a| \sqrt[3]{a} = a(1 -a)\).
   Ответ: \(a(1 -a)\).
7. Высота треугольника 21, радиус вписанной окружности 9. Найдите площадь.
   Решение: Пусть основание \(2a\), площадь \(S =21a\). Радиус \(r =9 = \frac{S}{p}\), где \(p =a +2b\) (полупериметр). Из \(21a =9(a +b)\) и \(b =\frac{4}{3}a\) (по теор. Пиф.) находим \(a =27\). Тогда площадь \(S =21 \cdot27 =567\).
   Ответ: 567.
8. Решите уравнение: \[ 2\,|x + 1| + |2x - 3| =5. \]
   Решение: Рассмотрим интервалы:
   • \(x < -1\): Ур-ние не имеет решений.
   • \(-1 \le x <1.5\): Все числа из промежутка являются решениями.
   • \(x \ge1.5\): \(x =1.5\).
   Ответ: \([-1;1.5]\).
9. Средний результат класса увеличился на 2 при добавлении 5 баллов девочкам. Найти процент мальчиков.
   Решение: Пусть девочек \(g\), мальчиков \(m\). Из уравнения \(5g =2(g +m)\) получаем \(\frac{m}{g} =\frac{3}{2}\). Процент мальчиков: \(\frac{3}{5} \cdot100% =60\%\).
   Ответ: 60%.
10. Длина части высоты от основания до прямой, делящей площадь пополам.
    Решение: Коэффициент подобия \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Высота от вершины: \(24 \cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\). Расстояние от основания: \(24 -24 \cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =24(1 -\frac{\sqrt{2}}{2})\).
    Ответ: \(24(1 -\frac{\sqrt{2}}{2})\).
11. График функции \(y =\frac{x}{x^2 +2x} =\frac{1}{x +2}\) (при \(x \neq0,-2\)). Прямая \(y =a\) не пересекает график при \(a =0\) (т.к. при \(x=0\) функция не определена).
    Ответ: \(a =0\).
12. Решите систему: \[ \begin{cases} xy +x + y =5,\\ x^2y +xy^2 =6. \end{cases} \]
    Решение: Пусть \(S =x +y\), \(P =xy\). Тогда \(P + S =5\) и \(P \cdot S =6\). Решаем: \[ S =5 -P \Rightarrow P(5 -P) =6 \Rightarrow P =2,3. \] При \(P=2\), \(S=3\): \(x=1\), \(y=2\) и наоборот. При \(P=3\): дискриминант отрицателен.
    Ответ: \((1;2)\), \((2;1)\).
13. Найдите значения параметра \(a\), при которых уравнение имеет одно решение.
    Решение: Рассмотрим случаи:
    • Квадратное уравнение: \(a=0\) (D=0).
    • Линейное уравнение: \(a = -\frac{3}{2}\).
    Ответ: \(a=0\); \(-\frac{3}{2}\).
14. Найдите \(AD\), если \(BN=12\), \(ND=3\).
    Решение: Используя теорему о биссектрисе и свойство пересечения диагоналей: \(\frac{AB}{AD} =\frac{BN}{ND} =4\). Из подобия треугольников \(AD =9\).
    Ответ: 9.
15. Квартира 333 в 10-м подъезде. На этаже 4 квартиры, значит 9 этажей ×4 =36 квартир в подъезде. В 10-м подъезде квартиры с 325 по 360. Квартира 333 находится на этаже \(\frac{333 -324}{4} =3\) (начало с 325: 1-й этаж 325-328, 2-й 329-332, 3-й 333-336).
    Ответ: 3.