8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2016 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 05.2016
Печать
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2016 год


Вариант 1



Часть B

  1. Какую цифру нужно дописать в начало числа \(86375\), чтобы получившееся число делилось на \(45\)?
  2. Решите уравнение: \[ \frac{3 + 2y}{1 - y}\,(2y - 3) = 3 - 2y. \]
  3. В окружности проведены хорды \(AB\) и \(AC\), образующие угол \(130^\circ\). Через точки \(B\) и \(C\) проведены касательные к окружности, пересекающиеся в точке \(M\). Найдите угол \(\angle BMC\).
  4. Решите неравенство: \[ (t - 2)\,\sqrt{-t^2 + 7t - 6} \;\ge\; 0. \]
  5. Девятикласснику Серёже нужно 50 секунд, чтобы спуститься пешком по неподвижному эскалатору. Движущийся эскалатор поднимает его, стоящего на ступеньке, за 60 секунд. Сколько секунд нужно Серёже, чтобы спуститься пешком по поднимающемуся эскалатору?
  6. Упростите выражение \[ \frac{\sqrt{(x+2)^2 - 8x}}{\sqrt{x-2}\,\sqrt{x}}, \quad 0 < x < 2. \]
  7. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, равна 15, а радиус вписанной окружности равен 6. Найдите площадь треугольника.
  8. Решите уравнение: \[ |2x - 1| + 2\,|x - 3| = 5. \]
  9. Ученики 9В класса написали тест. Если бы каждый мальчик получил на 3 балла больше, то средний результат класса был бы на 1,2 балла выше. Сколько процентов составляют в этом классе девочки?
  10. Длина основания треугольника равна 36. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найти длину отрезка этой прямой, заключённого между боковыми сторонами треугольника.
  11. Постройте график функции \[ y = \frac{x}{x^2 - 3x} \] и определите, при каких значениях параметра \(a\) прямая \(y = a\) не имеет с графиком общих точек.


Часть C

  1. Решите систему \[ \begin{cases} x^2y - xy^2 = 6,\\ xy + x - y = -5. \end{cases} \]
  2. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ (2a - 5)x^2 \;-\; 2(a - 1)x \;+\; 3 \;=\; 0 \] имеет ровно одно решение.
  3. Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(\angle BAD\) и пересекается с диагональю \(BD\) в точке \(K\). Найдите \(KC\), если \(BC = 4\) и \(AK = 6\).
  4. Женя пригласила Тому в гости, сказав, что живёт в 8-м подъезде в квартире номер 468, а этаж не сказала. Дом 12-этажный, номера квартир начинаются с 1, на всех этажах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Женя?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Какую цифру нужно дописать в начало числа \(86375\), чтобы получившееся число делилось на \(45\)?
    Решение: Число делится на \(45\) тогда и только тогда, когда оно делится на \(5\) и \(9\). Последняя цифра \(5\) удовлетворяет условию делимости на \(5\). Сумма цифр числа \(d + 8 + 6 + 3 + 7 + 5 = d + 29\) должна делиться на \(9\). Находим \(d = 7\) (сумма \(36\)), так как \(7 + 29 = 36\).
    Ответ: \(7\).

  2. Решите уравнение: \[ \frac{3 + 2y}{1 - y}\,(2y - 3) = 3 - 2y \]
    Решение: Преобразуем уравнение. Переносим все члены в левую часть и выносим общий множитель: \[ \frac{(3 + 2y)(2y - 3)}{1 - y} + 2y - 3 = 0 \] Заметим, что \(2y - 3 = -(3 - 2y)\). Тогда уравнение примет вид: \[ \frac{-(3 + 2y)(3 - 2y)}{1 - y} + (3 - 2y) = 0 \] Выносим \((3 - 2y)\) за скобки: \[ (3 - 2y)\left( -\frac{3 + 2y}{1 - y} + 1 \right) = 0 \] Раскрываем скобки: \[ (3 - 2y) \cdot \frac{-3 - 2y + 1 - y}{1 - y} = 0 \Rightarrow (3 - 2y) \cdot \frac{-4 - 3y}{1 - y} = 0 \] Решения: \(3 - 2y = 0 \Rightarrow y = 1.5\) (удовлетворяет ОДЗ: \(1 - y \ne 0\)) и корень уравнения \(-4 - 3y = 0 \Rightarrow y = -\frac{4}{3}\) также удовлетворяет ОДЗ.
    Ответ: \(y = 1.5\), \(y = -\frac{4}{3}\).

  3. Через точки \(B\) и \(C\) проведены касательные к окружности, пересекающиеся в точке \(M\). Найдите угол \(\angle BMC\), если хорды \(AB\) и \(AC\) образуют угол \(130^\circ\).
    Решение: Угол между касательными равен половине разности дуг, на которые опираются хорды \(AB\) и \(AC\). Центральный угол \(AOC = 2 \times 130^\circ = 260^\circ\), дуга \(BC = 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ\). Угол между касательными \(\angle BMC = \frac{1}{2} \times 100^\circ = 50^\circ\).
    Ответ: \(50^\circ\).

  4. Решите неравенство: \[ (t - 2)\,\sqrt{-t^2 + 7t - 6} \;\ge\; 0 \]
    Решение: ОДЗ: \(-t^2 + 7t - 6 \ge 0 \Rightarrow t \in [1; 6]\). Рассмотрим выражение \((t - 2)\sqrt{...}\): корень неотрицателен, значит неравенство выполняется при \(t - 2 \ge 0\) (\(t \ge 2\)) или \((t - 2) = 0\) (\(t = 2\)). Учитывая ОДЗ, получаем \(t \in [2; 6]\). Проверка \(t = 1\) также даёт равенство нулю.
    Ответ: \(t \in \{1\} \cup [2; 6]\).

  5. Длина основания треугольника равна 36. Прямая делит площадь пополам. Найти длину отрезка.
    Решение: Площади треугольников с основаниями \(36\) и \(x\) относятся как квадрат коэффициента подобия \(k^2 = \frac{1}{2}\), откуда \(k = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Длина отрезка \(x = 36 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{2}\).
    Ответ: \(18\sqrt{2}\).

  6. Найти площадь равнобедренного треугольника с высотой \(15\) и радиусом вписанной окружности \(6\).
    Решение: Пусть основание \(b\). Полупериметр \(p = \frac{2a + b}{2}\), площадь \(S = \frac{b \times 15}{2}\). Радиус вписанной окружности \(r = \frac{S}{p} = 6\). Получаем уравнение \(\frac{\frac{15b}{2}}{\frac{2a + b}{2}} = 6\). Решая с учётом теоремы Пифагора (\(a^2 = \frac{b^2}{4} + 225\)), находим \(b = 12\sqrt{5}\), площадь \(S = \frac{12\sqrt{5} \times 15}{2} = 90\sqrt{5}\).
    Ответ: \(90\sqrt{5}\).

  7. Решите уравнение \(|2x - 1| + 2|x - 3| = 5\).
    Решение: Разберём на интервалах: - При \(x < 0.5\): \(1 - 2x - 2x + 6 = 5 \Rightarrow -4x + 7 = 5 \Rightarrow x = 0.5\) (не входит в отрезок). - При \(0.5 \le x < 3\): \(2x - 1 - 2x + 6 = 5 \Rightarrow 5 = 5\) — верно для всех \(x\) в промежутке. - При \(x \ge 3\): \(2x - 1 + 2x - 6 = 5 \Rightarrow 4x - 7 = 5 \Rightarrow x = 3\).
    Ответ: \(x \in [0.5; 3]\).

  8. Определить процент девочек, если добавление \(3\) баллов мальчикам увеличивает среднее на \(1.2\).
    Решение: Пусть мальчиков \(m\), девочек \(g\). Тогда \(\frac{3m}{m + g} = 1.2 \Rightarrow \frac{m}{m + g} = 0.4\), откуда процент девочек \(60\%\).
    Ответ: \(60\%\).

  9. Постройте график функции \(y = \frac{x}{x^2 - 3x}\) и определите, при каких \(a\) прямая \(y = a\) не имеет с графиком общих точек.
    Решение: Упростим функцию: \(y = \frac{1}{x - 3}\). График — гипербола с выколотой точкой при \(x = 0\). Прямая \(y = a\) не пересекает график при \(a = 0\) (горизонтальна к горизонтальной асимптоте) и \(a = -\frac{1}{3}\) (выколотая точка).
    Ответ: \(a = 0\), \(a = -\frac{1}{3}\).

  10. Решите систему: \[ \begin{cases} x^2y - xy^2 = 6, \\ xy + x - y = -5. \end{cases} \]
    Решение: Из второго уравнения \(xy = -5 - x + y\). Подставим в первое: \[ x(-5 - x + y)(x - y) = 6 \Rightarrow x(-5y + y^2 - x^2 + x y) = 6 \] Решения: \((x, y) = (-2, 1)\), \((-1, 2)\).
    Ответ: \((-2, 1)\), \((-1, 2)\).

  11. Найдите значения параметра \(a\), при которых уравнение \((2a - 5)x^2 - 2(a - 1)x + 3 = 0\) имеет одно решение.
    Решение: Квадратное уравнение имеет один корень при \(D = 0\) или коэффициент при \(x^2 = 0\). Дискриминант \(4(a - 4)^2 = 0 \Rightarrow a = 4\). При \(2a - 5 = 0 \Rightarrow a = \frac{5}{2}\), уравнение становится линейным.
    Ответ: \(a = 4\), \(a = \frac{5}{2}\).

  12. Найдите \(KC\), если \(BC = 4\), \(AK = 6\).
    Решение: По теореме свойств биссектрисы в вписанном четырёхугольнике \(KC = BC = 4\).
    Ответ: \(4\).

  13. Определите этаж квартиры \(468\) в \(8\)-м подъезде \(12\)-этажного дома.
    Решение: номера квартир на этаже одинаковы. В подъезде \(12 \times 5 = 60\) квартир. \(468\) квартира принадлежит \(8\)-му подъезду: \(468 - 7 \times 60 = 48\). Номер этажа \(\frac{48}{5} = 9.6 \rightarrow 10\)-й этаж.
    Ответ: \(10\).
Материалы школы Юайти