СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2015 год вариант 2
Печать
youit.school ©
СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)
2015 год
Вариант 2
Часть В
- Бабушка старше мамы на 20 лет, а мама старше дочки в \(2{,}5\) раза. Вместе всем им 116 лет. Сколько лет маме?
- Вычислите значение выражения \[ \bigl(\sqrt{23\tfrac{7}{15}} \;-\; \sqrt{13\tfrac{3}{15}}\bigr) : \sqrt{\frac{11}{30}}. \]
- Решите уравнение \[ \frac{3}{2x-1} \;+\; \frac{2x-1}{x-1} \;=\; \frac{1}{2x^2 - 3x + 1}. \]
- Найдите область определения функции \[ y = \sqrt{\frac{-x^2 + 2x - 4}{\,x + 4\,}}. \]
- Сколько целых решений имеет неравенство \[ \sqrt{x^2 + x - 6}\;\cdot\;(x^2 - 4x - 5) \le 0? \]
- В трапеции \(ABCD\) \(AD\) и \(BC\) — основания, \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(BO:OD = 3:4\). Найдите отношение площадей треугольников \(ABD\) и \(ABC\).
- Найдите разность арифметической прогрессии \(\{a_n\}\), в которой \[ a_{10} - a_{3} = -78{,}4. \]
- Диагонали ромба относятся как \(3:4\). Периметр ромба равен \(20\)см. Найдите площадь ромба.
Часть С
- Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди.
Сколько чистого олова нужно добавить к этому куску, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди?
- Решите систему уравнений
\[
\begin{cases}
x^2 - y = 2,\\
2x + y = -2.
\end{cases}
\]
- Постройте график функции
\[
y =
\begin{cases}
x^2 + 4x + 3, & x \le 0,\\
\lvert x - 3\rvert, & x > 0.
\end{cases}
\]
Найдите все значения параметра \(k\), при которых прямая \(y = k\) пересекает график заданной функции в трёх различных точках.
- В прямоугольный треугольник вписана окружность. Расстояние от её центра до вершины угла в \(60^\circ\) этого треугольника равно 4 см. Найдите площадь этого треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Бабушка старше мамы на 20 лет, а мама старше дочки в \(2{,}5\) раза. Вместе всем им 116 лет. Сколько лет маме?
Решение: Пусть возраст дочки \(x\) лет, тогда маме \(2{,}5x\) лет, бабушке \(2{,}5x + 20\) лет. Сумма возрастов: \[ x + 2{,}5x + (2{,}5x + 20) = 116 \quad \Rightarrow \quad 6x + 20 = 116 \quad \Rightarrow \quad x = 16 \] Возраст мамы: \(2{,}5 \cdot 16 = 40\) лет.
Ответ: 40.
- Вычислите значение выражения
\[
\bigl(\sqrt{23\tfrac{7}{15}} \;-\; \sqrt{13\tfrac{3}{15}}\bigr)
: \sqrt{\frac{11}{30}}.
\]
Решение:
\[
\sqrt{23\tfrac{7}{15}} = \sqrt{\frac{352}{15}}, \quad \sqrt{13\tfrac{3}{15}} = \sqrt{\frac{198}{15}}
\]
\[
\sqrt{\frac{352}{15}} - \sqrt{\frac{198}{15}} = \sqrt{\frac{154}{15}} = \sqrt{\frac{154}{15} \cdot \frac{30}{11}} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}
\]
Ответ: \(2\sqrt{7}\).
- Решите уравнение
\[
\frac{3}{2x-1} \;+\; \frac{2x-1}{x-1}
\;=\;
\frac{1}{2x^2 - 3x + 1}.
\]
Решение:
Заметим, что \(2x^2 - 3x + 1 = (2x-1)(x-1)\). Умножим обе части на общий знаменатель:
\[
3(x-1) + (2x-1)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 3x - 3 + 4x^2 - 4x + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad 4x^2 - x - 3 = 0
\]
Корни: \(x = 1\); \(x = \frac{3}{4}\). Проверка ОДЗ: \(x = \frac{3}{4}\) — единственный корень.
Ответ: \(\frac{3}{4}\).
- Найдите область определения функции
\[
y = \sqrt{\frac{-x^2 + 2x - 4}{\,x + 4\,}}.
\]
Решение: Дробь под корнем должна быть неотрицательной. Числитель \(-x^2 + 2x - 4\) всегда отрицателен (\(D = 4 - 16 = -12\)), знаменатель \(x + 4 < 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -4)\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -4)\).
- Сколько целых решений имеет неравенство
\[
\sqrt{x^2 + x - 6}\;\cdot\;(x^2 - 4x - 5) \le 0?
\]
Решение: ОДЗ: \(x^2 + x - 6 \ge 0 \Rightarrow x \le -3\), \(x \ge 2\). Второй множитель: \(x^2 -4x -5 \le 0 \Rightarrow x \in [-1;5]\). Пересечение: \(x \in [-3; -3] \cup [2;5]\). Целые решения: \(-3, 2, 3, 4\).
Ответ: 4.
- В трапеции \(ABCD\) \(AD\) и \(BC\) — основания, \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(BO:OD = 3:4\).
Найдите отношение площадей треугольников \(ABD\) и \(ABC\).
Решение: Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению оснований. Площадь \(ABD\) к \(ABC\) как \(AD:BC = 7:3\).
Ответ: \(7:3\).
- Найдите разность арифметической прогрессии \(\{a_n\}\), в которой
\[
a_{10} - a_{3} = -78{,}4.
\]
Решение:
\[
a_{10} - a_{3} = 7d = -78{,}4 \quad \Rightarrow \quad d = -11{,}2.
\]
Ответ: \(-11{,}2\).
- Диагонали ромба относятся как \(3:4\). Периметр ромба равен \(20\)см.
Найдите площадь ромба.
Решение: Сторона ромба \(5\)см. Диагонали \(3k\) и \(4k\), \[ \left(\frac{3k}{2}\right)^2 + \left(\frac{4k}{2}\right)^2 = 5^2 \quad \Rightarrow \quad k=2 \quad \Rightarrow \quad S = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24\ \text{см}^2. \] Ответ: 24.
Часть С
- Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди.
Сколько чистого олова нужно добавить, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди?
Решение: Масса меди: \(0{,}45 \cdot 12 = 5{,}4\) кг. После добавления \(x\) кг олова: \[ 0{,}4(12 + x) = 5{,}4 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5{,}4}{0{,}4} - 12 = 1{,}5\ \text{кг}. \] Ответ: 1,5.
- Решите систему уравнений
\[
\begin{cases}
x^2 - y = 2,\\
2x + y = -2.
\end{cases}
\]
Решение: Выразим \(y = -2 - 2x\) из второго уравнения и подставим в первое:
\[
x^2 - (-2 - 2x) = 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x + 2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x(x+2) = 0.
\]
Корни: \(x=0\) (\(y=-2\)), \(x=-2\) (\(y=2\)).
Ответ: \((0;-2)\), \((-2;2)\).
- Постройте график функции
\[
y =
\begin{cases}
x^2 + 4x + 3, & x \le 0,\\
\lvert x - 3\rvert, & x > 0.
\end{cases}
\]
Найдите все значения \(k\), при которых прямая \(y = k\) пересекает график в трёх точках.
Решение: График состоит из параболы при \(x \le 0\) и V-образного графика при \(x > 0\). Три точки пересечения при \(0 < k < 3\).
Ответ: \(k \in (0; 3)\).
- Площадь прямоугольного треугольника с радиусом вписанной окружности \(r\). Центр окружности удалён от вершины с углом \(60^\circ\) на 4 см.
Решение: Для треугольника с гипотенузой \(c\), катетами \(a\), \(b\): \[ r = \frac{a + b - c}{2}, \quad \text{расстояние от центра до вершины } R = \sqrt{r^2 + (a - r)^2} = 4. \] После вычислений площадь \(S = 16\sqrt{3}\ \text{см}^2\).
Ответ: \(16\sqrt{3}\).
Материалы школы Юайти