8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2015 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 05.2015
Печать
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2015 год


Вариант 2



Часть 1

  1. Решите неравенство \[ \frac{1}{x} \;\ge\; -\tfrac{1}{6}. \]
  2. В городах Соколово и Масленниково, между которыми \(300\) км, расположены автобусные парки. В Соколово — \(50\) автобусов, а в Масленниково — \(100\). Эти города соединены прямолинейной дорогой. На каком расстоянии от Соколово нужно построить заправку, чтобы сумма расстояний, проезжаемых всеми автобусами от их города до заправки, была наименьшей? (Размером городов пренебречь.)
  3. Одна тетрадь стоит 45 рублей. Петя купил некоторое количество таких тетрадей, но сумма покупки плохо пропечаталась в чеке, и он увидел там «7*5 руб.» (непрочитанная цифра обозначена звездочкой). Сколько тетрадей купил Петя?
  4. Решите уравнение \[ (x-3)x + 3(x+2) = x^2 + 6. \]
  5. Решите уравнение \[ \sqrt{2x + 8} = x. \]
  6. Автобус ежедневно ездит из пункта \(A\) в пункт \(B\) с одной и той же скоростью. На сколько процентов уменьшится время в пути, если эту скорость увеличить на \(25\%\)?
  7. Даны функции \[ y = kx + b \quad (k \ge 0) \quad\text{и}\quad y = \frac{1}{x} - 2. \] Какими должны быть \(k\) и \(b\), чтобы графики этих функций не имели общих точек?
  8. Отношение длины стороны правильного \(n\)-угольника к диаметру описанной вокруг него окружности равно \(\cos 72^\circ\). Найдите \(n\).
  9. Решите уравнение \[ \sqrt{16 - 8x + x^2} = 4 - x. \]


Часть 2

  1. У России есть три суперсекретных военных объекта: Правдино (в районе Северного полюса), Кривдино (в Антарктиде) и Половинка (в пустыне Сахара); связи между ними нет. Жители Правдино всегда говорят правду, жители Кривдино всегда лгут, а каждый житель Половинки попеременно говорит то правду, то ложь. Дежурному в Москве позвонили с одного из объектов: «Авария!» — «На каком объекте?» — «В Половинке!» Куда дежурный должен направить аварийную бригаду?
  2. Волшебники сидели за круглым столом и по очереди вырывали волоски из своих бород. Первый вырвал 1 волосок, второй — и так далее (каждый следующий вырывал на \(n\) волосков больше, чем предыдущий). Оказалось, что количество волосков, вырванных всеми волшебниками на третьем круге, на 162 меньше, чем на пятом круге. Сколько было волшебников?

  3. Окружность с центром \(O\) касается сторон угла \(APB\) в точках \(A\) и \(B\); отрезки \(PO\) и \(AB\) пересекаются в точке \(R\), при этом \(PR = 12\), \(AR = 6\). Найдите площадь треугольника \(PAO\).

  4. Найдите все значения \(b\), при которых для любых \(a\) система \[ \begin{cases} 2x - y = b,\\ b x + y = a \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите неравенство $\frac{1}{x} \geq -\frac{1}{6}$.
    Решение: Рассмотрим два случая: $x > 0$ и $x 0$ неравенство принимает вид $\frac{1}{x} \geq -\frac{1}{6}$, что всегда выполняется. При $x < 0$ умножим обе части на $x$ (знак неравенства меняется): $1 \leq -\frac{x}{6}$, откуда $x \leq -6$. Объединяя решения: \[ x \in (-\infty; -6] \cup (0; +\infty) \] Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup (0; +\infty)$.

  2. Построение заправки между городами.
    Решение: Суммарное расстояние проезда автобусов: $50x + 100(300 - x) = -50x + 30000$. Минимум достигается при $x = 200$ км. Ответ: 200 км от Соколово.

  3. Количество тетрадей Пети.
    Решение: Сумма покупки кратна 45. Допустимые варианты: 765 руб. (цифра * = 6). Тогда количество тетрадей: $\frac{765}{45} = 17$. Ответ: 17.

  4. Решение уравнения $(x-3)x + 3(x+2) = x^2 + 6$.
    Решение: Упростим уравнение: \[ x^2 - 3x + 3x + 6 = x^2 + 6 \implies 0 = 0 \] Уравнение верно для всех действительных $x$. Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

  5. Решение уравнения $\sqrt{2x + 8} = x$.
    Решение: Возведем в квадрат: \[ 2x + 8 = x^2 \implies x^2 - 2x - 8 = 0 \implies x = 4 \text{ (корень $x=-2$ не подходит)} \] Ответ: 4.

  6. Уменьшение времени при увеличении скорости на 25%.
    Решение: Новое время составляет $0.8$ от исходного. Уменьшение на 20%. Ответ: на 20%.

  7. Графики функций без общих точек.
    Решение: Система $kx + b = \frac{1}{x} - 2$ приводит к уравнению $kx^2 + (b + 2)x - 1 = 0$. Дискриминант $D = (b + 2)^2 + 4k$, который всегда положителен при $k \geq 0$. Нет таких $k$ и $b$. Ответ: таких $k$ и $b$ не существует.

  8. Определение $n$ для правильного многоугольника.
    Решение: Отношение стороны к диаметру: $\frac{a}{2R} = \cos 72^\circ = \sin 18^\circ$. Следовательно, $n = \frac{180^\circ}{18^\circ} = 10$. Ответ: 10.

  9. Решение уравнения $\sqrt{16 - 8x + x^2} = 4 - x$.
    Решение: Левая часть: $|x - 4| = 4 - x$. Уравнение выполняется при $x \leq 4$. Ответ: $x \leq 4$.

    Часть 2
  10. Направление аварийной бригады.
    Решение: Сообщение "В Половинке" может быть правдой (из Правдино) или ложью (из Кривдино). Дежурный направляет бригаду в Половинку, так как если звонок из Кривдино, авария в Кривдино. Ответ: в Кривдино.

  11. Количество волшебников.
    Решение: Сумма волосков на кругах связана уравнением $m^2n = 81$. Подходит $m = 3$, $n = 9$. Ответ: 3.

  12. Площадь треугольника $PAO$.
    Решение: Используя свойства биссектрисы и прямоугольного треугольника, площадь равна $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 18 = 108$. Ответ: 108.

  13. Значения $b$ для системы.
    Решение: Система имеет решения при $b \neq -2$. Ответ: все $b$ кроме $-2$.
Материалы школы Юайти