СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2015 год вариант 1

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)

2015 год

Вариант 1

Часть В

1. Андрей старше Олега на 4 года, а Олег старше Бориса в \(1{,}5\) раза. Вместе им троим 36 лет. Сколько лет Олегу?
2. Вычислите значение выражения \[ \bigl(\sqrt{3\tfrac{5}{17}} \;-\; \sqrt{7\tfrac{7}{17}}\bigr) : \sqrt{\frac{7}{34}}. \]
3. Решите уравнение \[ \frac{x}{x+1} \;-\; \frac{x}{x+2} \;=\; \frac{x^2 - 2}{x^2 + 3x + 2}. \]
4. Найдите область определения функции \[ y = \sqrt{\frac{-x^2 + x - 5}{x - 2}}. \]
5. Сколько целых решений имеет неравенство \[ \sqrt{x^2 + 3x - 4}\;\cdot\;(x^2 - x - 12) \le 0? \]
6. В трапеции \(ABCD\) \(AD\) и \(BC\) — основания, \(O\) — точка пересечения диагоналей. Площади треугольников \(AOD\) и \(BOC\) относятся как \(9:4\). Найдите отношение площадей треугольников \(ABD\) и \(CBD\).
7. Найдите разность арифметической прогрессии \(\{a_n\}\), в которой \[ a_8 - a_5 = -21{,}3. \]
8. Площадь ромба равна \(6\) см\(^2\). Одна из его диагоналей в \(3\) раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

Часть С

К заданиям нужно не только привести ответ, но и полностью оформить решение.

1. Смешали $30\%$‑ный раствор соляной кислоты с $10\%$‑ным раствором этой же кислоты и получили 600 г $15\%$‑ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
2. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2 - y = 0,\\ x + y - 6 = 0. \end{cases} \]
3. Постройте график функции \[ y = \begin{cases} x^2 + 3x + 2, & x \le 0,\\ \lvert x - 2\rvert, & x > 0. \end{cases} \] Найдите все значения параметра \(k\), при которых прямая \(y = k\) пересекает график этой функции в трёх различных точках.
4. В прямоугольный треугольник с углом \(60^\circ\) вписана окружность радиуса \(2\sqrt{3}\) см. Найдите площадь этого треугольника.

Решения задач

1. Андрей старше Олега на 4 года, а Олег старше Бориса в $1{,}5$ раза. Вместе им троим 36 лет. Сколько лет Олегу?
   Решение: Пусть возраст Бориса $x$ лет, тогда Олегу $1{,}5x$ лет, а Андрею $1{,}5x + 4$ года.
   Сумма возрастов: $x + 1{,}5x + 1{,}5x + 4 = 36$ $4x + 4 = 36 \quad \Rightarrow \quad 4x = 32 \quad \Rightarrow \quad x = 8$ Возраст Олега: $1{,}5 \cdot 8 = 12$ лет.
   Ответ: 12.
2. Вычислите значение выражения \[ \bigl(\sqrt{3\tfrac{5}{17}} \;-\; \sqrt{7\tfrac{7}{17}}\bigr) : \sqrt{\frac{7}{34}}. \]
   Решение: Преобразуем смешанные дроби: $3\tfrac{5}{17} = \frac{56}{17}$, $7\tfrac{7}{17} = \frac{126}{17}$. Упростим выражение: \[ \left(\sqrt{\frac{56}{17}} - \sqrt{\frac{126}{17}}\right) \cdot \sqrt{\frac{34}{7}} = \frac{\sqrt{56} - \sqrt{126}}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{7}} \] \[ = \frac{\sqrt{56 \cdot 34} - \sqrt{126 \cdot 34}}{\sqrt{17 \cdot 7}} = \frac{\sqrt{1904} - \sqrt{4284}}{\sqrt{119}} \] \[ = \frac{\sqrt{16 \cdot 119} - \sqrt{36 \cdot 119}}{\sqrt{119}} = \frac{4\sqrt{119} - 6\sqrt{119}}{\sqrt{119}} = \frac{-2\sqrt{119}}{\sqrt{119}} = -2 \] Ответ: $-2$.
3. Решите уравнение \[ \frac{x}{x+1} \;-\; \frac{x}{x+2} \;=\; \frac{x^2 - 2}{x^2 + 3x + 2}. \]
   Решение: Приведём к общему знаменателю $(x+1)(x+2)$: \[ \frac{x(x+2) - x(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2 - 2}{(x+1)(x+2)} \] \[ \frac{x}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2 - 2}{(x+1)(x+2)} \] Умножим обе части на $(x+1)(x+2)$: \[ x = x^2 - 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 2 = 0 \] Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$. Проверка: $x = -1$ не подходит (знаменатель обращается в ноль). Ответ: 2.
4. Найдите область определения функции \[ y = \sqrt{\frac{-x^2 + x - 5}{x - 2}}. \]
   Решение: Дробь под корнем неотрицательна: \[ \frac{-x^2 + x -5}{x - 2} \ge 0 \] Числитель $-x^2 + x -5 = -(x^2 - x +5)$ всегда отрицателен ($D = 1 - 20 = -19 < 0$). Знаменатель $x - 2 < 0$ (чтобы дробь была положительной). Область определения: $x \in (-\infty; 2)$. Ответ: $(-\infty; 2)$.
5. Сколько целых решений имеет неравенство \[ \sqrt{x^2 + 3x - 4}\;\cdot\;(x^2 - x - 12) \le 0? \]
   Решение: Область определения: $x^2 +3x -4 \ge 0 \Rightarrow x \le -4$ или $x \ge 1$. Разложим на множители: $(x^2 -x -12) = (x -4)(x +3)$. Неравенство примет вид: \[ \sqrt{(x+4)(x-1)} \cdot (x-4)(x+3) \le 0 \] Анализ интервалов: При $x \le -4$: $\sqrt{...} \ge 0$, $(x-4)(x+3) > 0$ — не подходит. При $x \ge 1$: $\sqrt{...} \ge 0$, знак определяется $(x-4)(x+3)$. Корни: $x = -3$, $x =4$. Решение неравенства: $x \in [1;4]$. Целые решения: $1,2,3,4$ — всего 4 числа. Ответ: 4.
6. В трапеции $ABCD$ площади треугольников $AOD$ и $BOC$ относятся как $9:4$. Найдите отношение площадей треугольников $ABD$ и $CBD$.
   Решение: Отношение площадей $S_{AOD}:S_{BOC} = 9:4$ ⇒ отношение оснований $AD:BC = 3:2$. Площади треугольников $ABD$ и $CBD$ относятся как $AD:BC = 3:2$. Ответ: $3:2$.
7. Найдите разность арифметической прогрессии $\{a_n\}$, в которой \[ a_8 - a_5 = -21{,}3. \]
   Решение: $a_8 = a_1 +7d$, $a_5 = a_1 +4d$. $a_8 - a_5 = 3d = -21{,}3 \quad \Rightarrow \quad d = -7{,}1$. Ответ: $-7{,}1$.
8. Площадь ромба равна $6$ см$^2$. Одна из его диагоналей в $3$ раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.
   Решение: Пусть меньшая диагональ $d$, тогда большая $3d$. Площадь: $\frac{d \cdot 3d}{2} = 6 \quad \Rightarrow \quad 3d^2 = 12 \quad \Rightarrow \quad d^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad d = 2$ см. Ответ: 2 см.
   
   
9. Смешали 30%‑ный раствор соляной кислоты с 10%‑ным и получили 600 г 15%‑ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
   Решение: Пусть взяли $x$ г 30% раствора, тогда 10% раствора $(600 -x)$ г. Уравнение: $0{,}3x + 0{,}1(600 -x) = 0{,}15 \cdot 600$ $0{,}2x + 60 = 90 \quad \Rightarrow \quad x = 150$ Ответ: 150 г и 450 г.
10. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2 - y = 0,\\ x + y - 6 = 0. \end{cases} \]
    Решение: Подставим $y = x^2$ во второе уравнение: $x + x^2 -6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 +x -6 =0$ Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$. Соответствующие значения $y$: $4$ и $9$. Ответ: $(2;4)$, $(-3;9)$.
11. Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 + 3x + 2, & x \le 0,\\ \lvert x - 2\rvert, & x > 0. \end{cases} $ Найдите все значения параметра $k$, при которых прямая $y = k$ пересекает график в трёх точках.
    Решение: При $x \le 0$ график — парабола с вершиной $(-1{,}5; -0{,}25)$. При $x > 0$ график — уголок с вершиной $(2;0)$. Пересечение в трёх точках возможно при $0 < k < 2$. Ответ: $0 < k < 2$.
12. В прямоугольный треугольник с углом $60^\circ$ вписана окружность радиуса $2\sqrt{3}$\,см. Найдите площадь треугольника.
    Решение: Пусть катеты $a$ (против $30^\circ$) и $b = a\sqrt{3}$, гипотенуза $c = 2a$. Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{a + a\sqrt{3} -2a}{2} = \frac{a(\sqrt{3}-1)}{2} = 2\sqrt{3}$ Откуда $a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \cdot (\sqrt{3}+1) = 4(\sqrt{3}+1)$ Площадь: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 4(\sqrt{3}+1) \cdot 4(\sqrt{3}+1)\sqrt{3} = 16\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})$ Ответ: $16\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})$\,см$^2$.