СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2015 год вариант 1

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)

2015 год

Вариант 1

1. Решите неравенство \[ \frac{1}{x} \le \frac{1}{5}. \]
2. Деревни Смирновка и Щербаковка, между которыми \(6\) км, соединены прямолинейной дорогой. В Смирновке живёт \(10\) школьников, а в Щербаковке — \(20\). На каком расстоянии от Смирновки нужно построить школу, чтобы сумма расстояний, проходимых от своей деревни до школы всеми школьниками, была наименьшей? (Размером деревень пренебречь.)
3. Одна ручка стоит 18 рублей. Вася купил некоторое количество таких ручек, но сумма покупки плохо пропечаталась в чеке, и он увидел там «3*2 руб.» (непрочитанная цифра обозначена звездочкой). Сколько ручек купил Вася?
4. Решите уравнение \[ x(x+7) - 7(x-1) = x^2 + 7. \]
5. Решите уравнение \[ \sqrt{2x + 3} \;=\; x. \]
6. Одно и то же количество одинаковых бобров ежегодно строит одинаковую плотину. На сколько процентов увеличится время постройки плотины, если количество бобров уменьшить на \(20\%\)?
7. Даны функции \[ y = kx + b\quad(k \ge 0) \quad\text{и}\quad y = 3 + \frac1x. \] Какими должны быть параметры \(k\) и \(b\), чтобы графики этих функций имели ровно одну общую точку?
8. Отношение радиуса вписанной в правильный \(n\)-угольник окружности к радиусу, описанной около него, равно \(\sin 70^\circ\). Найдите \(n\).
9. Решите уравнение \[ \sqrt{9 - 6x + x^2} \;=\; x - 3. \]

1. В сельской больнице было всего три пациента: Хороших, всегда говоривший правду; Плохих, всегда лгавший; и Черезразов, попеременно говоривший то правду, то ложь. Ночью у дежурной медсестры раздался звонок по внутренней связи: «Умираю…» — «А вы кто?» — уточнила медсестра. — «Я не Хороших…». Кого должна бежать спасать от смерти медсестра?
2. Пакет с семечками пустили по кругу. Первый взял 1 семечку, второй — 2, и так далее (каждый следующий брал на 1 семечку больше, чем предыдущий). Оказалось, что количество семечек, взятых всеми, сидящими на четвёртом круге, на 128 больше, чем на втором круге. Сколько людей сидело в кругу?
3. Окружность с центром \(O\) касается сторон угла \(MSN\) в точках \(M\) и \(N\); отрезки \(SO\) и \(MN\) пересекаются в точке \(K\), при этом \(SK = 8\), \(OK = 2\). Найдите площадь четырёхугольника \(SMON\).
4. Найдите все такие значения \(b\), что при любых значениях \(a\) система уравнений \[ \begin{cases} 3x + y = a,\\ ax - y = b \end{cases} \]

Решения задач

1. Решите неравенство \[ \frac{1}{x} \le \frac{1}{5}. \]
   Решение: Приведём неравенство к виду \(\frac{5 - x}{5x} \le 0\). Критические точки: \(x = 0\), \(x = 5\). Метод интервалов даёт \(x \in (-\infty; 0) \cup [5; +\infty)\).
   Ответ: \(x \in (-\infty; 0) \cup [5; +\infty)\).
   
   
2. Школу нужно построить в Щербаковке, так как там больше учеников. Минимальная сумма достигается, когда школа расположена ближе к большей группе.
   Ответ: 6 км от Смирновки (в Щербаковке).
   
   
3. Пусть сумма покупки равна \(342\) рубля (число вида \(3*2\)). Тогда количество ручек: \(\frac{342}{18} = 19\).
   Ответ: 19.
   
   
4. Упростим уравнение: \(x^2 +7x -7x +7 = x^2 +7\). Уравнение верно для всех \(x\).
   Ответ: \(x \in \mathbb{R}\).
   
   
5. Возведём в квадрат: \(2x +3 = x^2\). Корни \(x = 3\) (подходит), \(x = -1\) (не подходит).
   Ответ: 3.
   
   
6. Время обратно пропорционально количеству бобров. При уменьшении на \(20\%\) время увеличится на \(\frac{1}{0,8} -1 = 0,25 = 25\%\).
   Ответ: на \(25\%\).
   
   
7. Уравнение \(kx + b = 3 + \frac{1}{x}\) должно иметь один корень. При \(k = 0\) и \(b = 3\) прямая \(y = 3\) касается гиперболы в точке \((1; 3)\).
   Ответ: \(k = 0\), \(b = 3\).
   
   
8. Отношение радиусов: \(\cos\frac{\pi}{n} = \sin70^\circ = \cos20^\circ\). Тогда \(\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{9}\), откуда \(n = 9\).
   Ответ: 9.
   
   
9. Уравнение \(\sqrt{(x-3)^2} = x -3\) выполняется при \(x \ge 3\).
   Ответ: \(x \ge 3\).
   
   
10. Звонивший сказал: «Я не Хороших». Если бы это был Хороших, он соврал бы. Плохих соврал бы, значит, он Хороших. Противоречие. Значит, это Черезразов.
    Ответ: Черезразов.
    
    
11. Пусть в кругу \(k\) человек. Сумма на 4-м круге: \(\frac{(4k+1)4k}{2} - \frac{(3k+1)3k}{2} = 7k^2 + \frac{k}{2}\). Сумма на 2-м круге: \(\frac{(2k+1)2k}{2} - \frac{(k+1)k}{2} = 2k^2 + \frac{k}{2}\). Разность \(5k^2 = 128\), откуда \(k = 8\).
    Ответ: 8.
    
    
12. Из подобия треугольников \(SK = 8\), \(OK = 2\), \(SO = 10\). Площадь \(SMON\) равна площади ромба: \(\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48\).
    Ответ: 48.
    
    
13. Система совместна при любых \(a\), если \(b = -3\).
    Ответ: \(b = -3\).