8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2014 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 05.2014
Печать
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2014 год


Вариант 2



Часть B

К каждому заданию приведите только ответ.

  1. Найдите значение выражения \[ \bigl(8\sqrt{24} - 12\sqrt{54} + 6\sqrt{96} - 4\sqrt{150}\bigr) : 2\sqrt{3}. \]
  2. Решите уравнение \[ \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 1} = 1. \]
  3. Упростите выражение \[ \left(\frac{a\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \sqrt{ab}\right) \;\cdot\; \left(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}\right)^{2}. \]
  4. Решите неравенство \[ \frac{3x - (x + 1)(x + 2)}{x + 1} \ge 0. \]
  5. В треугольнике \(ABC\) отрезок \(AD\) — биссектриса, \(\angle ACB = 21^\circ\), \(\angle CAD = 30^\circ\). Найдите \(\angle ABC\).

  6. Больному прописано лекарство, которое нужно принимать по \(0{,}5\) г три раза в день в течение 16 дней. В одной упаковке 12 таблеток по \(0{,}25\) г. Какого наименьшего числа упаковок хватит на весь курс лечения?
  7. При каком значении \(a\) график функции \[ y = x^2 - 2ax + a \] проходит через точку \(B(-1;2)\)?
  8. В трапеции точка пересечения диагоналей делит одну из них на отрезки длиной 9 см и 15 см.


Часть C

К заданиям нужно не только привести ответ, но и полностью оформить решение в чистовике.

  1. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x + y = 4,\\ x^2 - 3xy + y^2 = 1. \end{cases} \]

  2. Найдите область определения функции \[ f(x) = \sqrt{x^2 + x - 2} \;-\; \sqrt{4 - x^2}. \]

  3. Смешали \(10\%\)-ный и \(25\%\)-ный растворы соли и получили 3 кг \(20\%\)-ного раствора. Сколько килограммов \(10\%\)-ного раствора было использовано?

  4. В равнобедённом треугольнике боковые стороны равны по 10 см, а высота, опущенная на основание, равна 8 см. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

  5. Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[ \lvert 2x - 4\rvert = x + a \] не имеет решений.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения \[ \left(8\sqrt{24} - 12\sqrt{54} + 6\sqrt{96} - 4\sqrt{150}\right) : 2\sqrt{3} \] Решение: \[ 8\sqrt{24} = 16\sqrt{6},\quad -12\sqrt{54} = -36\sqrt{6},\quad 6\sqrt{96}=24\sqrt{6},\quad -4\sqrt{150}=-20\sqrt{6} \] \[ (16\sqrt{6} -36\sqrt{6} +24\sqrt{6} -20\sqrt{6}) = -16\sqrt{6} \] \[ -16\sqrt{6} : 2\sqrt{3} = -8\sqrt{\frac{6}{3}} = -8\sqrt{2} \] Ответ: \(-8\sqrt{2}\).
  2. Решите уравнение \[ \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 1} = 1 \] Решение: \[ x^2 - 6x + 5 = x - 1 \implies x^2 -7x +6 =0 \] Корни: \(x=6\) (посторонний корень \(x=1\) исключается).
    Ответ: 6.
  3. Упростите выражение \[ \left(\frac{a\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \sqrt{ab}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}\right)^{2} \] Решение: \[ \frac{a\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = a + b + \sqrt{ab},\quad \text{после сложения с \(\sqrt{ab}\) получаем} \quad (a + b + 2\sqrt{ab}) \] \[ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}},\quad \text{возводим в квадрат:} \quad \frac{1}{(a + b + 2\sqrt{ab})} \] \[ (a + b + 2\sqrt{ab}) \cdot \frac{1}{(a + b + 2\sqrt{ab})} = 1 \] Ответ: 1.
  4. Решите неравенство \[ \frac{3x - (x + 1)(x + 2)}{x + 1} \ge 0 \] Решение: \[ \frac{-x^2 -2}{x + 1} \ge0 \implies \text{решения} \quad x < -1 \] Ответ: \((-\infty; -1)\).
  5. Найдите \(\angle ABC\): Решение: \[ \angle CAB = 60^\circ,\quad \angle ACB =21^\circ \implies \angle ABC = 180^\circ -60^\circ -21^\circ =99^\circ \] Ответ: \(99^\circ\).
  6. Количество упаковок: \[ 0{,}5 \cdot 3 \cdot 16 =24\, \text{г},\quad 24\, \text{г} : (12 \cdot 0{,}25\, \text{г}) =8\, \text{упаковок} \] Ответ: 8.
  7. Значение параметра \(a\): \[ 2 = (-1)^2 -2a\cdot(-1)+a \implies 3a=1 \implies a=\frac{1}{3} \] Ответ: \(\frac{1}{3}\).
  8. Длина диагонали: Ответ: 24 см (предположительно).




Часть C



  1. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x + y =4\\ x^2 -3xy + y^2 =1 \end{cases} \] Решение: \[ y =4 -x \implies x^2 -3x(4 -x) + (4 -x)^2 =1 \implies x=1\, \text{или}\,3 \] Ответ: \((1;3)\) и \((3;1)\).
  2. Область определения функции: \[ \sqrt{x^2 +x -2} \implies x\in(-\infty;-2]\cup[1;+\infty),\quad \sqrt{4 -x^2} \implies x\in[-2;2] \] Ответ: \([-2] \cup [1;2]\).
  3. Количество \(10\%\)-ного раствора: \[ \begin{cases} x + y =3\\ 0{,}1x +0{,}25y =0{,}6 \end{cases} \implies x=1\, \text{кг} \] Ответ:1 кг.
  4. Радиус описанной окружности: \[ S =48,\quad R = \frac{10 \cdot10 \cdot12}{4 \cdot48} =6{,}25 \] Ответ: \(6{,}25\) см.
  5. Значения параметра \(a\): \[ 2 +a <0 \implies a < -2 \] Ответ: \(a \in (-\infty; -2)\).
Материалы школы Юайти