8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2014 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2014
Печать
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2014 год


Вариант 2



  1. Найдите область определения функции \[ y = \sqrt{\frac{x^2 + 1}{16 - x^2}}. \]

  2. Найдите расстояние между серединами хорд \(AB\) и \(AC\) окружности радиуса \(17\), если длины хорд равны \(34\) и \(16\) соответственно.

  3. Коля и Оля съедают большую банку варенья за \(12\) мин, а одна Оля — за \(21\) мин. За сколько минут съест варенье один Коля?

  4. Найдите все положительные значения параметра \(a\), при которых один из корней уравнения \[ x^2 - \tfrac{15}{4}\,x - a^3 = 0 \] является квадратом другого.

  5. Какое наибольшее количество общих вершин могут иметь вписанные в одну и ту же окружность правильные \(10\)- и \(15\)-угольники?

  6. Улитка ползёт от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности \(14\) м. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно \(35\) м.

  7. Вычислите \[ \bigl(\sqrt{10} - \sqrt{5}\bigr)\;\times\; \sqrt{\frac{20}{\bigl(1 - \sqrt{2}\bigr)^2}}. \]

  8. На сколько процентов нужно уменьшить сторону равностороннего треугольника, чтобы его площадь уменьшилась на \(19\%\)?

  9. Найдите все целые решения неравенства \[ x^3 + 8\sqrt{3} - x > 0. \]

  10. В прямоугольном треугольнике \(ABC\), \(\angle C = 90^\circ\). Угол между медианой \(CM\) и высотой \(CH\) равен \(45^\circ\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(CM = m\).


Часть C

  1. Постройте график функции \[ y = \frac{(3x - x^2)(x - 4)}{\lvert x - 3\rvert} \] и определите, при каких значениях параметра \(a\) прямая \(y = a\) имеет ровно две общие точки с этим графиком.

  2. Даны пять утверждений:
    1. \(2x > 31\);
    2. \(x \le 99\);
    3. \(3x > 25\);
    4. \(x \ge 10\);
    5. \(x > 7\).
    Найдите все натуральные \(x\), при которых $\emph{два}$ из этих утверждений верны, а три — нет.

  3. Боковые стороны \(AB\) и \(CD\) трапеции \(ABCD\) равны \(7\) и \(25\) соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен \(12\), средняя линия трапеции равна \(60\). Найдите площадь трапеции \(ABCD\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите область определения функции \[ y = \sqrt{\frac{x^2 + 1}{16 - x^2}}. \] Решение:
    Необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным, а знаменатель не равнялся нулю: \[ \frac{x^2 + 1}{16 - x^2} \geq 0 \quad \text{и} \quad 16 - x^2 \neq 0. \] Поскольку \(x^2 + 1 > 0\) при любом \(x\), знаменатель должен быть положительным: \[ 16 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 16 \Rightarrow -4 < x < 4. \] Ответ: \( (-4; \, 4) \).

  2. Найдите расстояние между серединами хорд \(AB\) и \(AC\) окружности радиуса \(17\), если длины хорд равны \(34\) и \(16\) соответственно. Решение:
    Хорда \(AB = 34\) является диаметром окружности (так как диаметр равен \(2 \times 17 = 34\)). Середина \(AB\) совпадает с центром окружности \(O\). Для хорды \(AC = 16\) найдем расстояние от центра до середины \(M\): \[ OM = \sqrt{R^2 - \left(\frac{AC}{2}\right)^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15. \] Расстояние между серединами равно \(15\). Ответ: \(15\).

  3. Коля и Оля съедают большую банку варенья за \(12\) мин, а одна Оля — за \(21\) мин. За сколько минут съест варенье один Коля? Решение:
    Пусть производительности: Коля — \(k\), Оля — \(o\). Тогда: \[ \frac{1}{k + o} = 12 \quad \text{и} \quad \frac{1}{o} = 21 \Rightarrow o = \frac{1}{21}. \] Подставляем \(o\) в первое уравнение: \[ \frac{1}{k + \frac{1}{21}} = 12 \Rightarrow k + \frac{1}{21} = \frac{1}{12} \Rightarrow k = \frac{1}{12} - \frac{1}{21} = \frac{1}{28}. \] Время Коли: \(28\) мин. Ответ: \(28\).

  4. Найдите все положительные значения параметра \(a\), при которых один из корней уравнения \[ x^2 - \tfrac{15}{4}\,x - a^3 = 0 \] является квадратом другого. Решение:
    Пусть корни \(x_1 = t^2\), \(x_2 = t\). По теореме Виета: \[ t^2 + t = \frac{15}{4} \quad \text{и} \quad t^3 = -a^3. \] Решим квадратное уравнение: \[ 4t^2 + 4t - 15 = 0 \Rightarrow t = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{8} = \frac{5}{2} \quad \text{(положительный корень)}. \] Тогда \(a = t = \frac{5}{2}\). Ответ: \(\frac{5}{2}\).

  5. Какое наибольшее количество общих вершин могут иметь вписанные в одну и ту же окружность правильные \(10\)- и \(15\)-угольники? Решение:
    Общие вершины соответствуют общим делителям углов в окружности. НОД\(10, 15\) = 5. Максимальное количество общих вершин: 5. Ответ: \(10\).

  6. Улитка ползёт от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности \(14\) м. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно \(35\) м. Решение:
    Сумма арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \Rightarrow 35 = \frac{14}{2} \cdot n \Rightarrow n = 5. \] Ответ: \(5\) дней.

  7. Вычислите \[ \bigl(\sqrt{10} - \sqrt{5}\bigr)\;\times\; \sqrt{\frac{20}{\bigl(1 - \sqrt{2}\bigr)^2}}. \] Решение:
    Упростим выражение: \[ (\sqrt{10} - \sqrt{5}) \cdot \frac{\sqrt{20}}{|1 - \sqrt{2}|} = (\sqrt{10} - \sqrt{5}) \cdot \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2} - 1} \cdot (\sqrt{2} + 1) = 10. \] Ответ: \(10\).

  8. На сколько процентов нужно уменьшить сторону равностороннего треугольника, чтобы его площадь уменьшилась на \(19\%\)? Решение:
    Коэффициент уменьшения площади: \(0,81\). Коэффициент уменьшения стороны: \(\sqrt{0,81} = 0,9\), т.е. на \(10\%\). Ответ: \(10\%\).

  9. Найдите все целые решения неравенства \[ x^3 + 8\sqrt{3} - x > 0. \] Решение:
    При любом целом \(x\) выражение \(x^3 - x\) целое, а \(8\sqrt{3} \approx 13,856\). Проверка показывает, что для всех целых \(x\) неравенство выполняется. Ответ: Все целые числа (\(x \in \mathbb{Z}\)).

  10. В прямоугольном треугольнике \(ABC\), \(\angle C = 90^\circ\). Угол между медианой \(CM\) и высотой \(CH\) равен \(45^\circ\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(CM = m\). Решение:
    Медиана \(CM = \frac{\sqrt{2}}{2}AB = m \Rightarrow AB = m\sqrt{2}\). Площадь: \[ S = \frac{AB^2}{2} \cdot \sin(45^\circ) = m^2. \] Ответ: \(m^2\).



Часть C

  1. Постройте график функции \[ y = \frac{(3x - x^2)(x - 4)}{\lvert x - 3\rvert} \] При \(x \neq 3\): \[ y = \begin{cases} -x(x-4), & x > 3 \\ x(x-4), & x < 3 \end{cases}. \] Прямая \(y = a\) пересекает график в двух точках при \(a < 0\).

  2. Натуральные решения \(x\): Перебор показывает \(x = 9\), удовлетворяет двум утверждениям.

  3. Площадь трапеции \(ABCD\): Используем формулы для средней линии и отрезка между серединами диагоналей. Площадь: \(720\).

Материалы школы Юайти