СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2014 год вариант 1

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)

2014 год

Вариант 1

1. Найдите значение выражения \[ \bigl(2\sqrt{20} \;-\; 3\sqrt{8} \;-\; 2\sqrt{5} \;+\; 2\sqrt{18}\bigr) \;\cdot\; 3\sqrt{10}. \]
2. Решите уравнение \[ \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} \;=\; 2. \]
3. Упростите выражение \[ \left(\frac{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \;-\; \sqrt{ab}\right) \mathbin{:} (a - b) \;+\; \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}. \]
4. Решите неравенство \[ \frac{4x - (x + 1)(x + 3)}{x + 3} \;\ge\; 0. \]
5. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит прямой угол на два угла, один из которых равен \(56^\circ\). Найдите меньший угол данного треугольника.
6. Больному прописано лекарство, которое нужно принимать по \(0{,}5\) г четыре раза в день в течение 7 дней. В одной упаковке 8 таблеток лекарства по \(0{,}25\) г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
   
   
7. При каком значении \(a\) график функции \[ y = x^2 - 3ax - a \] проходит через точку \(A(2;5)\)?
   
   
8. В трапеции точка пересечения диагоналей делит одну из них на отрезки длиной 11 см и 14 см. Найдите основания трапеции, если её средняя линия равна 25 см.

1. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x + y = 5,\\ x^2 + x y + y^2 = 19. \end{cases} \]
2. Найдите область определения функции \[ f(x) \;=\;\sqrt{9 - x^2}\;+\;\sqrt{x^2 - 5x + 6}. \]
3. Смешали \(10\%\)-ный и \(30\%\)-ный растворы соляной кислоты и получили \(600\) г \(15\%\)-ного раствора. Сколько граммов \(10\%\)-ного раствора было использовано?
4. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны по \(5\) см, а высота, опущенная на основание, равна \(3\) см. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
5. Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[ \lvert 2x + 2\rvert = x - a \] не имеет решений.

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ \bigl(2\sqrt{20} \;-\; 3\sqrt{8} \;-\; 2\sqrt{5} \;+\; 2\sqrt{18}\bigr) \;\cdot\; 3\sqrt{10}. \]
   Решение:
   Упрощаем корни: \[ \sqrt{20} = 2\sqrt{5},\quad \sqrt{8} = 2\sqrt{2},\quad \sqrt{18} = 3\sqrt{2}. \] Подставляем в выражение: \[ (2 \cdot 2\sqrt{5} - 3 \cdot 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} + 2 \cdot 3\sqrt{2}) \] Приводим подобные слагаемые: \[ 4\sqrt{5} - 6\sqrt{2} -2\sqrt{5} +6\sqrt{2} = 2\sqrt{5}. \] Умножаем на \(3\sqrt{10}\): \[ 2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{10} = 6\sqrt{50} = 6\cdot 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2}. \]
   Ответ: \(30\sqrt{2}\).
   
   
2. Решите уравнение \[ \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} = 2. \]
   Решение:
   Разложим числитель: \[ x^2 -5x +6 = (x-2)(x-3). \] Сокращаем дробь при условии \(x \neq 3\): \[ \frac{(x-2)(x-3)}{x-3} = x-2. \] Получаем уравнение: \[ x - 2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 4. \] Проверка: \(x=4\) не вызывает деления на ноль.
   Ответ: 4.
   
   
3. Упростите выражение: \[ \left(\frac{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \sqrt{ab}\right) \mathbin{:} (a - b) + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}. \]
   Решение:
   Преобразуем числитель первой дроби: \[ \frac{(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = a - \sqrt{ab} + b. \] Второй этап упрощения: \[ (a - \sqrt{ab} + b - \sqrt{ab}) \mathbin{:} (a - b) = \frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{a - b} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}))} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}. \] Добавляем вторую дробь: \[ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = 1. \]
   Ответ: 1.
   
   
4. Решите неравенство \[ \frac{4x - (x + 1)(x + 3)}{x + 3} \ge 0. \]
   Решение:
   Раскроем числитель: \[ 4x - (x^2 +4x +3) = -x^2 -3. \] Упрощаем неравенство: \[ \frac{-x^2 -3}{x + 3} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{-(x^2 +3)}{x +3} \ge 0. \] Так как \(x^2 + 3 > 0\) всегда, знак зависит от знаменателя: \[ -(x +3) > 0 \quad \Rightarrow \quad x +3 < 0 \quad \Rightarrow \quad x < -3. \] Область определения: \(x \neq -3\). Учитывая знак неравенства, получаем:
   Ответ: \(x \in (-\infty; -3)\).
   
   
5. В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе делит прямой угол на \(56^\circ\) и \(34^\circ\). Определим меньший острый угол исходного треугольника. Образовавшиеся углы при высоте соответствуют острым углам треугольника. Меньший угол будет \(34^\circ\).
   Ответ: \(34^\circ\).
   
   
6. Лекарство принимают по 0,5 г 4 раза в день в течение 7 дней. Суточная доза: \(0,5 \cdot 4 = 2\) г. За неделю: \(2 \cdot 7 = 14\) г. В одной упаковке \(8 \cdot 0,25 = 2\) г. Необходимое количество упаковок: \(14 / 2 = 7\).
   Ответ: 7.
   
   
7. Найдем значение \(a\) для функции \(y =x^2 -3ax -a\) при прохождении через точку \(A(2;5)\): \[ 5 = 4 -6a -a \quad \Rightarrow \quad 5 =4 -7a \quad \Rightarrow \quad 7a =-1 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{1}{7}. \]
   Ответ: \(-\frac{1}{7}\).
   
   
8. Основания трапеции относятся как отрезки диагонали (11:14). Средняя линия 25 см: \(a + b =50\). Отношение \(a : b =11:14\): \[ a = \frac{11}{25} \cdot50 =22\, см,\quad b = 50 -22 =28\, см. \]
   Ответ: 22 см и 28 см.
   
   
9. Решим систему: \[ \begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 + xy + y^2 =19. \end{cases} \] Подставляем \(y =5 -x\) во второе уравнение: \[ x^2 +x(5 -x) + (5 -x)^2 =19 \quad \Rightarrow \quad x^2 -5x +6 =0 \quad \Rightarrow \quad x=2,3. \] Решения: \((2;3)\) и \((3;2)\).
   Ответ: \((2;3)\) и \((3;2)\).
   
   
10. Область определения функции \(f(x)=\sqrt{9-x^2}+\sqrt{x^2-5x+6}\):
    Первое подкоренное: \(9 -x^2 \ge0 \Rightarrow -3 \le x \le3\). Второе: \((x-2)(x-3) \ge0 \Rightarrow x \le2\) или \(x \ge3\). Пересечение: \[ x \in [-3;2] \cup \{3\}. \]
    Ответ: \([-3;2] \cup \{3\}\).
    
    
11. Пусть масса \(10\%\)-ного раствора \(x\) г. Уравнение: \[ 0,1x +0,3(600 -x) =0,15 \cdot600 \quad \Rightarrow \quad x=450\, г. \]
    Ответ: 450 г.
    
    
12. В равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами 5 см и высотой 3 см основание равно 8 см. Площадь \(S = \frac{8 \cdot3}{2}=12\). Радиус описанной окружности: \[ R = \frac{a b c}{4S} = \frac{5 \cdot5 \cdot8}{4 \cdot12} = \frac{200}{48} = \frac{25}{6}. \]
    Ответ: \(\frac{25}{6}\) см.
    
    
13. Уравнение \(\lvert2x +2\rvert =x -a\) не имеет решений при \(a >-1\).
    Ответ: \(a >-1\).