8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 9 в 10 класс 2014 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2014
ЕГЭ 2026: Как подготовиться без паники и стресса?
7 сентября в 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2014 год


Вариант 1



  1. Найдите область определения функции \[ y = \sqrt{\frac{x^2 + 1}{x^2 - 9}}. \]
  2. Найдите расстояние между серединами хорд \(AB\) и \(AC\) окружности радиуса \(20\), если длины хорд равны \(40\) и \(24\) соответственно.
  3. Ваня и Таня съедают большую банку варенья за \(14\) минут, а один Ваня — за \(18\) минут. За сколько минут съест варенье одна Таня?
  4. Найдите все положительные значения параметра \(a\), при каждом из которых один из корней уравнения \[ x^2 - \tfrac{15}{4}\,x + a^3 = 0 \] является квадратом другого.
  5. Какое наибольшее количество общих вершин могут иметь вписанные в одну и ту же окружность правильные \(20\)- и \(12\)-угольники?
  6. Улитка ползёт от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности \(12\) м. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно \(30\) м.
  7. Вычислите \[ \bigl(\sqrt[5]{10 - \sqrt{68}}\bigr)\,\bigl(\sqrt[5]{10 + \sqrt{68}}\bigr) \;+\; \sqrt[4]{125}\,\sqrt[4]{5} \;+\; \bigl(-2\sqrt{2}\bigr)^{7}. \]
  8. На сколько процентов нужно увеличить сторону равностороннего треугольника, чтобы его площадь увеличилась на \(69\%\)?
  9. Найдите все целые решения неравенства \[ x^3 + 27 > 0,\quad x^2 - x < 1. \]
  10. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) \(\angle C = 90^\circ\). Угол между медианой \(CM\) и высотой \(CH\) равен \(30^\circ\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(CM = a\).


Часть C

  1. Постройте график функции \[ y = \frac{(x^2 - 2x)(x-3)}{\lvert x-2\rvert} \] и определите, при каких значениях параметра \(b\) прямая \(y = b\) имеет ровно две общие точки с этим графиком.
  2. Даны пять утверждений:
    1. \(2x > 31\);
    2. \(x \le 99\);
    3. \(3x > 25\);
    4. \(x \ge 10\);
    5. \(x > 7\).
    Найдите все натуральные \(x\), при которых три из этих утверждений верны, а два — нет.
  3. Боковые стороны \(AB\) и \(CD\) трапеции \(ABCD\) равны \(7\) и \(25\) соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен \(12\), средняя линия трапеции равна \(60\). Найдите площадь трапеции \(ABCD\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите область определения функции \[ y = \sqrt{\frac{x^2 + 1}{x^2 - 9}}. \]
    Решение: Область определения функции определяется двумя условиями:
    1. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm3$.
    2. Дробь под корнем неотрицательна: $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 9} \geq 0$.
    Поскольку числитель $x^2 + 1 > 0$ при всех $x$, знак дроби зависит от знаменателя. Получаем неравенство:
    $x^2 - 9 > 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 3) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
    Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

  2. Найдите расстояние между серединами хорд \(AB\) и \(AC\) окружности радиуса \(20\), если длины хорд равны \(40\) и \(24\) соответственно.
    Решение: Хорда AB длиной 40 равна диаметру окружности (2·20), поэтому её середина совпадает с центром окружности. Для хорды AC длиной 24 найдём расстояние от центра до её середины:
    $d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{256} = 16$.
    Расстояние между серединами равно расстоянию до центра хорды AC: 16.
    Ответ: 16.

  3. Ваня и Таня съедают большую банку варенья за 14 минут, а один Ваня — за 18 минут. За сколько минут съест варенье одна Таня?
    Решение: Совместная производительность: $\frac{1}{14}$ банки/мин. Производительность Вани: $\frac{1}{18}$ банки/мин. Производительность Тани:
    $\frac{1}{14} - \frac{1}{18} = \frac{9 - 7}{126} = \frac{1}{63}$ банки/мин.
    Время Тани: $63$ минуты.
    Ответ: 63.

  4. Найдите все положительные значения параметра \(a\), при каждом из которых один из корней уравнения \[ x^2 - \tfrac{15}{4}\,x + a^3 = 0 \] является квадратом другого.
    Решение: Пусть корни равны \(x_1 = k^2\), \(x_2 = k\). По теореме Виета: \begin{align} k + k^2 &= \tfrac{15}{4} \\ k \cdot k^2 &= a^3 \Rightarrow k^3 = a^3 \Rightarrow a = k \end{align} Решаем уравнение \(k^2 + k = \tfrac{15}{4}\):
    \(4k^2 + 4k - 15 = 0 \Rightarrow D = 16 + 240 = 256 \Rightarrow k = \frac{ -4 \pm 16 }{8}\). Положительный корень: \(k = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\).
    Ответ: \(a = \frac{3}{2}\).

  5. Какое наибольшее количество общих вершин могут иметь вписанные в одну и ту же окружность правильные \(20\)- и \(12\)-угольники?
    Решение: Общие вершины соответствуют совпадению углов поворота с периодом НОД(20,12) = 4. Наибольшее количество общих вершин: 4.
    Ответ: 4.

  6. Улитка ползёт от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями \(30\) м, а сумма первого и последнего дней — \(12\) м.
    Решение: Сумма арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\). Подставляем:
    \(30 = \frac{12n}{2} \Rightarrow n = 5\).
    Ответ: 5 дней.

  7. Вычислите: \[ \bigl(\sqrt[5]{10 - \sqrt{68}}\bigr)\,\bigl(\sqrt[5]{10 + \sqrt{68}}\bigr) \;+\; \sqrt[4]{125}\,\sqrt[4]{5} \;+\; \bigl(-2\sqrt{2}\bigr)^{7}. \]
    Решение:
    • Первое слагаемое: $\sqrt[5]{(10)^2 - (\sqrt{68})^2} = \sqrt[5]{32} = 2$.
    • Второе: $\sqrt[4]{625} = 5$.
    • Третье: $(-2\sqrt{2})^7 = -2048\sqrt{2}$.
    Итог: \(2 + 5 - 2048\sqrt{2}\).
    Ответ: \(7 - 2048\sqrt{2}\).

  8. На сколько процентов нужно увеличить сторону равностороннего треугольника, чтобы его площадь увеличилась на \(69\%\)?
    Решение: Коэффициент увеличения площади $k^2 = 1 + 0.69 = 1.69 \Rightarrow k = 1.3$. Увеличение стороны на 30%.
    Ответ: 30%.

  9. Найдите все целые решения неравенства \[ x^3 + 27 > 0,\quad x^2 - x < 1. \]
    Решение: Первое неравенство: \(x > -3\). Второе: корни $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$, интервал $-0.618 < x < 1.618$. Целые решения: $x = 0$, $x = 1$.
    Ответ: $0$, $1$.

  10. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) угол между медианой \(CM\) и высотой \(CH\) равен \(30^\circ\). Найдите площадь треугольника, если \(CM = a\).
    Решение: Медиана к гипотенузе равна её половине: $AB = 2a$. Высота $CH = \frac{AC \cdot BC}{2a}$. Используя синус угла 30°, находим отношение катетов и вычисляем площадь:
    Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{3}$.



Решения части C

  1. Постройте график функции $y = \frac{(x^2 - 2x)(x-3)}{\lvert x-2\rvert}$ и определите параметр $b$ для двух общих точек.
    Решение: При $x > 2$ модуль раскрывается положительно: $y = x(x - 3)$. При $x < 2$: $y = -x(x - 3)$. Анализ критических точек показывает, что прямая $y = b$ пересекает график в двух точках при $b \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$. Уточнение требует дополнительного анализа.

  2. Найдите натуральные $x$, где 3 из 5 утверждений верны.
    Решение: Утверждения:
    1. $2x > 31$ ⇒ $x > 15.5$
    2. $x \le 99$ ⇒ $x \leq 99$
    3. $3x > 25$ ⇒ $x > 8.\overline{3}$
    4. $x \ge 10$ ⇒ $x \geq 10$
    5. $x \ge 8$
    Подходят $x = 9$ и $x = 10$. Детальный анализ показывает допустимые значения.

  3. Найдите площадь трапеции с боковыми сторонами 7, 25 и другими параметрами.
    Решение: Используя свойства средней линии и формулу площади трапеции:
    Ответ: 420.
Материалы школы Юайти