8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 8 в 9 класс 2016 год вариант 2-2

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Сложность:
Дата экзамена: 2016
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2016 год


Вариант 2



Часть В
К каждому заданию приведите только ответ

  1. Расположите числа в порядке возрастания: $\frac{1}{4} ; \sqrt{0,1} ; 0,2 ; \sqrt{\frac{1}{11}}$.
    Решение: Представим числа в одинаковом виде: $\frac{1}{4}=\sqrt{\frac{1}{16}} ; \sqrt{\frac{1}{10}} ; 0,2=\sqrt{\frac{4}{100}}=\sqrt{\frac{1}{25}} ; \sqrt{\frac{1}{11}} .$ Чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень. Значит, числа должны быть расположены так : 0,$2 ; \frac{1}{4} ; \sqrt{\frac{1}{11}} ; \sqrt{0,1} .$
    Ответ: 0,$2 ; \frac{1}{4} ; \sqrt{\frac{1}{11}} ; \sqrt{0,1} .$
  2. Вычислите: $\sqrt{1 \frac{24}{25}}-\sqrt{0,09}-\sqrt{8^{2}+15^{2}}$.
    Решение: $\sqrt{1 \frac{24}{25}}-\sqrt{0,09}-\sqrt{8^{2}+15^{2}}=\sqrt{\frac{49}{25}}-\sqrt{0,09}-\sqrt{289}=\frac{7}{5}-0,3-17=1,4-0,3-17=-15,9$. Ответ: $\underline{-15,9 .}$
  3. В треугольнике $A B C$ известно, что $A B=13, B C=20$, высота $B D=12$. Найдите площадь треугольника $A B C$.
    Решение: По условию, $B D-$ высота. Значит, треугольники $A B D$ и $D B C-$ прямоугольные. По теореме Пифагора $A D=\sqrt{A B^{2}-B D^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5, C D=\sqrt{B C^{2}-B D^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16 .$ Тогда $A C=5+16=$ 21. Найдем площадь треугольника $A B C: S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B D=\frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 12=126 .$
    Ответ $126 .$
  4. Упростите: $(-3 a b)^{3} \cdot\left(2 a^{3} b\right)^{2}$.
    Решение: Воспользуемся свойствами степени. Получим: $(-3 a b)^{3} \cdot\left(2 a^{3} b\right)^{2}=-27 a^{3} b^{3} \cdot 4 a^{6} b^{2}=-108 a^{9} b^{5}$ Ответ: $-108 a^{9} b^{5} .$
  5. Для функции $y=-3 x^{2}-6 x+2$ укажите координаты вершины параболы и точки пересечения ее с осью ординат.
    Решение: Вершина параболы имеет координаты $x_{0}=\frac{6}{2 \cdot(-3)}=-1, y_{0}=-3 \cdot(-1)^{2}-6 \cdot(-1)+2=5 .$ Точка пересечения с осью ординат - $(0 ; 2)$
    Ответ: $(-1 ; 5)$ и $(0 ; 2)$
  6. Решите неравенство: $-2 x^{2}+5 x-3<0$.
    Корнями уравнения $-2 x^{2}+5 x-3=0$ являются $x_{1}=1, x_{2}=\frac{3}{2}$. Тогда $-2 x^{2}+5 x-3=$ $-2(x-1)\left(x-\frac{3}{2}\right)<0 .$ Следовательно, $x\frac{3}{2} .$
    Ответ: $x \in(-\infty ; 1) \cup\left(\frac{3}{2} ;+\infty\right)$.
  7. В треугольнике $A B C$ и треугольнике $K L M$ известно, что $\angle A=\angle K, \angle C=\angle M, \frac{A B}{K L}=\frac{3}{4}$ и $A C=12$. Найдите $K M .$
    Решение: Два угла треугольника $A B C$ равны двум углам треугольника $K L M .$ Значит, эти треугольники подобны. Тогда $\frac{A C}{K M}=\frac{A B}{K L}=\frac{3}{4} .$ Получаем, что $K M=\frac{A C \cdot 4}{3}=\frac{12 \cdot 4}{3}=16 .$
    Ответ: $16 .$
  8. Сократите дробь: $\frac{3 b^{2}+2 b-5}{1-b^{2}}$.
    $\frac{3 b^{2}+2 b-5}{1-b^{2}}=\frac{3(b-1)\left(b+\frac{5}{3}\right)}{(1-b)(1+b)}=-\frac{3 b+5}{b+1} .$
    Ответ: $-\frac{3 b+5}{b+1}, b \neq-1 .$
  9. Вкладчик положил в банк на два года 10000 рублей из расчета $2 \%$ годовых. Сколько будет денег на счете через два года?
    Решение: Через год на счете будет $10000 \cdot 1,02=10200$. Через два года на счете будет $10200 \cdot 1,02=10404 .$ Ответ: $10404 .$
  10. В равнобедренном треугольнике $A B C(A B=B C)$ проведена биссектриса $C P .$ Прямая $P K \| B C$ и пересекает сторону $A C$ в точке $K, \angle A B C=24^{\circ} .$ Найдите $\angle K P C .$
    Решение: В равнобедренном треугольнике $A B C(A B=B C)$ угол $A B C=24^{\circ} .$ Значит $B C A=\frac{180^{\circ}-24^{\circ}}{2}=$ $78^{\circ} .$
    По условию, $C P$ - биссектриса. Следовательно, $\angle P C B=\angle P C A=78^{\circ} / 2=39^{\circ} .$
    Рассмотрим параллельные прямые $P K$ и $B C$, секущую $P C$. Тогда $\angle K P C=\angle P C B=39^{\circ}$.
    Ответ: $\underline{39^{\circ}} .$

    Часть C
    К заданиям приведите полное решение
  11. Решите систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{3+2 x}{3}-\frac{5 x-1}{6}<2, \\ 2 x-4 \leq x .\end{array}\right.$
    Решение: $\left\{\begin{array}{l}\frac{3+2 x}{3}-\frac{5 x-1}{6}<2, \\ 2 x-4 \leq x\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{2(3+2 x)}{6}-\frac{5 x-1}{6}<2, \\ 2 x-x \leq 4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}6+4 x-5 x+1-5, \\ x \leq 4 .\end{array}\right.\right.\right.\right.$ Значит, $x \in(-5 ; 4]$.
    Ответ: $x \in(-5 ; 4] .$
  12. Катер прошел 7 км по течению реки и 10 км против течения, затратив на путь по течению на 30 минут меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость катера против течения, если скорость течения реки 2 $\mathrm{KM} / \mathrm{Y}$.
    Решение: Пусть $x$ км/ч - собственная скорость катера. Тогда, скорость катера по течению реки равна $x+2$ км/ч и время движения по течению реки равно $\frac{7}{x+2} .$ Скорость катера против течения реки равна $x-2$ км/ч и время движения против течения равно $\frac{10}{x-2} .$ Получаем уравнение: $\frac{10}{x-2}-\frac{7}{x+2}=\frac{1}{2} .$ Приводим к общему знаменателю: $x^{2}-6 x-72=0 .$ Получаем, что скорость катера равна 12 км/ч. Тогда, скорость катера против течения равна $10 \mathrm{~km} /$ ч.
    Ответ: 10км/ч.
  13. В параллелограмме $A B C D$ известно, что $\angle A D C=150^{\circ}, C K-$ биссектриса угла $B C D(K$ лежит на $A D)$, причем $D K=4, A K=6 .$ Найдите площадь параллелограмма $A B C D .$
    Решение: Заметим, что $A D=D K+A K=10 .$ В параллелограмме $A B C D$ известно, что $\angle A D C=150^{\circ}$, значит $\angle B C D=30^{\circ}$. $C K$ - биссектриса угла $B C D$. Тогда $\angle B C K=\angle K C D .$ Рассмотрим параллельные прямые $A D$ и $B C$, секущую $C K .$ Тогда $\angle C K D=\angle B C K=\angle K C D . .$ Это означает, что треугольник $C K D-$ равнобедренный и $C D=K D=4$.
    Проведем в параллелограмме высоту $D H(D H \perp B C) .$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $D H C .$ В нем гипотенуза $D C=4, \angle C=30^{\circ} .$ Тогда $D H=1 / 2 C D=2 .$ $S_{A B C D}=D H \cdot B C=2 \cdot 10=20 .$
    Ответ: $20 .$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Расположите числа в порядке возрастания: $\frac{1}{4} ; \sqrt{0,1} ; 0,2 ; \sqrt{\frac{1}{11}}$.
    Решение: Переведём числа в сравнимый вид:
    $\frac{1}{4} = 0,25$; $\sqrt{0,1} \approx 0,316$; $0,2$; $\sqrt{\frac{1}{11}} \approx 0,301$.
    Порядок возрастания: $0,2 < \frac{1}{4} < \sqrt{\frac{1}{11}} < \sqrt{0,1}$.
    Ответ: $0,2 ; \frac{1}{4} ; \sqrt{\frac{1}{11}} ; \sqrt{0,1}$.

  2. Вычислите: $\sqrt{1 \frac{24}{25}}-\sqrt{0,09}-\sqrt{8^{2}+15^{2}}$.
    Решение:
    $\sqrt{\frac{49}{25}} - \sqrt{0,09} - \sqrt{289} = \frac{7}{5} - 0,3 - 17 = 1,4 - 0,3 - 17 = -15,9$.
    Ответ: $-15,9$.

  3. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=13$, $BC=20$, высота $BD=12$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
    Решение:
    $AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$;
    $DC = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{400 - 144} = 16$;
    $AC = AD + DC = 21$;
    $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 12 = 126$.
    Ответ: $126$.

  4. Упростите: $(-3ab)^{3} \cdot (2a^{3}b)^{2}$.
    Решение:
    $(-27a^3b^3) \cdot (4a^6b^2) = -108a^9b^5$.
    Ответ: $-108a^{9}b^{5}$.

  5. Для функции $y=-3x^{2}-6x+2$ укажите координаты вершины параболы и точки пересечения с осью ординат.
    Решение:
    $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{-6} = -1$;
    $y_0 = -3(-1)^2 -6(-1) + 2 = 5$;
    Пересечение с осью ординат: $(0; 2)$.
    Ответ: $(-1; 5)$ и $(0; 2)$.

  6. Решите неравенство: $-2x^{2}+5x-3<0$.
    Решение:
    Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{3}{2}$;
    Метод интервалов: $x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.
    Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

  7. В треугольниках $ABC$ и $KLM$ известно, что $\angle A = \angle K$, $\angle C = \angle M$, $\frac{AB}{KL} = \frac{3}{4}$, $AC=12$. Найдите $KM$.
    Решение:
    Подобие треугольников: $\frac{AC}{KM} = \frac{3}{4}$;
    $KM = \frac{4 \cdot 12}{3} = 16$.
    Ответ: $16$.

  8. Сократите дробь: $\frac{3b^{2}+2b-5}{1-b^{2}}$.
    Решение:
    Разложим числитель: $(3b+5)(b-1)$;
    Знаменатель: $-(b-1)(b+1)$;
    Сокращаем: $-\frac{3b+5}{b+1}$.
    Ответ: $-\frac{3b+5}{b+1}$.

  9. Вкладчик положил в банк 10000 рублей под 2% годовых на 2 года. Сколько будет денег через 2 года?
    Решение:
    Через год: $10000 \cdot 1,02 = 10200$ руб.;
    Через два года: $10200 \cdot 1,02 = 10404$ руб.
    Ответ: $10404$.

  10. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведена биссектриса $CP$. Прямая $PK \parallel BC$, $\angle ABC = 24^\circ$. Найдите $\angle KPC$.
    Решение:
    $\angle BCA = \frac{180^\circ - 24^\circ}{2} = 78^\circ$;
    Биссектриса делит угол: $\angle PCB = 39^\circ$;
    Из параллельности $PK \parallel BC$: $\angle KPC = 39^\circ$.
    Ответ: $39^\circ$.

  11. Решите систему неравенств: $\begin{cases} \frac{3+2x}{3} - \frac{5x-1}{6} < 2, \\ 2x - 4 \leq x \end{cases}$
    Решение:
    Первое неравенство: $6 + 4x - 5x + 1 -5$;
    Второе неравенство: $x \leq 4$;
    Ответ: $x \in (-5; 4]$.

  12. Катер прошёл 7 км по течению и 10 км против течения, затратив на путь по течению на 30 минут меньше. Скорость течения 2 км/ч. Найдите скорость катера против течения.
    Решение:
    Пусть $x$ — собственная скорость катера:
    $\frac{10}{x-2} - \frac{7}{x+2} = 0,5$;
    Решаем уравнение: $x = 12$ км/ч;
    Скорость против течения: $12 - 2 = 10$ км/ч.
    Ответ: $10$ км/ч.

  13. В параллелограмме $ABCD$ $\angle ADC = 150^\circ$, $CK$ — биссектриса угла $BCD$, $DK=4$, $AK=6$. Найдите площадь параллелограмма.
    Решение:
    $AD = DK + AK = 10$;
    $\angle BCD = 30^\circ$, треугольник $CKD$ равнобедренный: $CD = DK = 4$;
    Высота $DH = \frac{1}{2}CD = 2$;
    Площадь: $AD \cdot DH = 10 \cdot 2 = 20$.
    Ответ: $20$.
Материалы школы Юайти