8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 8 в 9 класс 2016 год вариант 2-1

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Сложность:
Дата экзамена: 2016
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2016 год


Вариант 1



Часть В
К каждому заданию приведите только ответ.

  1. Расположите числа в порядке возрастания: $\sqrt{15} ; 3 ; \sqrt{16,5} ; 4 ; \sqrt{19} .$
    Решение: Представим числа в одинаковом виде: $\sqrt{15} ; 3=\sqrt{9} ; \sqrt{16,5} ; 4=\sqrt{16} ; \sqrt{19} .$ Чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень. Значит, числа должны быть расположены так : $3 ; \sqrt{15} ; 4 ; \sqrt{16,5} ; \sqrt{19}$.
    Ответ: $3 ; \sqrt{15} ; 4 ; \sqrt{16,5} ; \sqrt{19} .$
  2. Вычислите: $\sqrt{1 \frac{11}{25}}+\sqrt{0,04}-\sqrt{12^{2}+5^{2}} .$
    Решение: $\sqrt{1 \frac{11}{25}}+\sqrt{0,04}-\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}+\sqrt{0,04}-\sqrt{169}=\frac{6}{5}+0,2-13=1,2+0,2-13=-11,6$. Ответ: $-11,6 .$
  3. В треугольнике $A B C$ известно, что $A B=17, B C=25$, высота $B D=15 .$ Найдите площадь треугольника $A B C$.
    Решение: По условию, $B D-$ высота. Значит, треугольники $A B D$ и $D B C-$ прямоугольные. По теореме Пифагора $A D=\sqrt{A B^{2}-B D^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8, C D=\sqrt{B C^{2}-B D^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20 .$ Тогда $A C=8+20=$ 28. Найдем площадь треугольника $A B C: S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B D=\frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 15=210 .$
    Ответ $210 .$
  4. Упростите: $\left(3 a b^{3}\right)^{2} \cdot\left(-2 a^{2} b\right)^{3} .$
    Решение: Воспользуемся свойствами степени. Получим: $\left(3 a b^{3}\right)^{2} \cdot\left(-2 a^{2} b\right)^{3}=9 a^{2} b^{6} \cdot\left(-8 a^{6} b^{3}\right)=-72 a^{8} b^{9}$
    Ответ: $-72 a^{8} b^{9}$
  5. Для функции $y=-2 x^{2}-4 x+3$ укажите координаты вершины параболы и точки пересечения ее с осью ординат.
    Решение: Вершина параболы имеет координаты $x_{0}=\frac{4}{2 \cdot(-2)}=-1, y_{0}=-2 \cdot(-1)^{2}-4 \cdot(-1)+3=5 .$ Точка пересечения с осью ординат - $(0 ; 3)$
    Ответ: $(-1 ; 5)$ и $(0 ; 3)$
  6. Решите неравенство: $-3 x^{2}+4 x-1<0$.
    Решение: Корнями уравнения $-3 x^{2}+4 x-1=0$ являются $x_{1}=1, x_{2}=\frac{1}{3} .$ Тогда $-3 x^{2}+4 x-1=$ $-3(x-1)\left(x-\frac{1}{3}\right)<0 .$ Следовательно, $x1 .$
    Ответ: $x \in\left(-\infty ; \frac{1}{3}\right) \cup(1 ;+\infty) .$
  7. В треугольнике $A B C$ и треугольнике $X Y Z$ известно, что $\angle A=\angle X, \angle C=\angle Z, \frac{A B}{X Y}=\frac{2}{3}$ и $A C=10 .$ Найдите $X Z .$
    Решение: Два угла треугольника $A B C$ равны двум углам треугольника $X Y Z .$ Значит, эти треугольники подобны. Тогда $\frac{A C}{X Z}=\frac{A B}{X Y}=\frac{2}{3} .$ Получаем, что $X Z=\frac{A C \cdot 3}{2}=\frac{10 \cdot 3}{2}=15 .$
    Ответ: $15 .$
  8. Сократите дробь: $\frac{3 a^{2}+2 a-1}{1-a^{2}} .$
    Решение: $\frac{3 a^{2}+2 a-1}{1-a^{2}}=\frac{3(a+1)\left(a-\frac{1}{3}\right)}{(1-a)(1+a)}=\frac{3 a-1}{1-a}$.
    Ответ: $\frac{3 a-1}{1-a}, a \neq-1 .$
  9. Вкладчик положил в банк на два года 10000 рублей из расчета $3 \%$ годовых. Сколько будет денег на счете через два года?
    Решение:Через год на счете будет $10000 \cdot 1,03=10300 .$ Через два года на счете будет $10300 \cdot 1,03=10609 .$ Ответ: 10609.
  10. В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $B K .$ Прямая $M K \| B C$ и пересекает сторону $A B$ в точке $M, \angle B M K=124^{\circ} .$ найдите $\angle M K B .$
    Решение: Рассмотрим параллельные прямые $M K$ и $B C$, секущую $A B$. Тогда $\angle B M K+\angle M B C=180^{\circ}$. Значит, $\angle M B C=180^{\circ}-124^{\circ}=56^{\circ} .$ По условию, $B K$ - биссектриса. Следовательно, $\angle M B K=\angle K B C=56^{\circ} / 2=28^{\circ}$.
    Рассмотрим параллельные прямые $M K$ и $B C$, секущую $K B$. Тогда $\angle M K B=\angle K B C=28^{\circ}$.
    Ответ: $28^{\circ} .$

    Часть С
    К заданиям приведите полное решение.
  11. Решите систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{5+x}{4}+\frac{1-2 x}{6} \geq 1, \\ 3 x-4>x .\end{array}\right.$
    Решение: $\left\{\begin{array}{l}\frac{5+x}{4}+\frac{1-2 x}{6} \geq 1, \\ 3 x-4>x\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{3(5+x)}{12}+\frac{2(1-2 x)}{12} \geq 1, \\ 3 x-x>4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}15+3 x+2-4 x \geq 12, \\ 2 x>4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \leq 5, \\ x>2 .\end{array}\right.\right.\right.\right.$ Значит, $x \in(2 ; 5]$.
    Ответ: $x \in(2 ; 5]$.
  12. Катер прошел 5 км по течению реки и 8 км по озеру, затратив на весь путь 1 час. Известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость катера по течению.
    Решение: Пусть $x$ км/ч - собственная скорость катера. Тогда, скорость катера по течению реки равна $x+3$ км/ч и время движения по течению реки равно $\frac{5}{x+3}$. Время движения по озеру равно $\frac{8}{x}$. Получаем уравнение: $\frac{5}{x+3}+\frac{8}{x}=1 .$ Приводим к общему знаменателю: $x^{2}-10 x-24=0 .$ Получаем, что скорость катера равна 12 км/ч. Тогда, скорость катера по течению равна 15 км/ч.
    Ответ: $15 \mathrm{KM} /$ ч.
  13. В параллелограмме $A B C D$ известно, что $\angle A B C=120^{\circ}, A M$ - биссектриса угла $B A D(M$ лежит на $B C)$, причем $B M=6, M C=8 .$ Найдите площадь параллелограмма $A B C D .$
    Решение: Заметим, что $B C=B M+M C=14 .$ В параллелограмме $A B C D$ известно, что $\angle A B C=120^{\circ}$, значит $\angle B A D=60^{\circ}$. $A M$ - биссектриса угла $B A D .$ Тогда $\angle B A M=\angle M A D .$ Рассмотрим параллельные прямые $A D$ и $B C$, секущую $A M .$ Тогда $\angle B M A=\angle M A D=\angle B A M .$ Это означает, что треугольник $A B M-$ равнобедренный и $A B=B M=6$.
    Проведем в параллелограмме высоту $B H(B H \perp A D) .$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B H .$ В нем гипотенуза $A B=6, \angle A=60^{\circ} .$ Тогда $\angle B=30^{\circ}, A H=A B / 2=3$ и $B H=\sqrt{A B^{2}-A H^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{27}=3 \sqrt{3} .$ $S_{A B C D}=B H \cdot A D=3 \sqrt{3} \cdot 14=42 \sqrt{3} .$
    Ответ: $42 \sqrt{3} .$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Расположите числа в порядке возрастания: $\sqrt{15} ; 3 ; \sqrt{16,5} ; 4 ; \sqrt{19} .$
    Решение: Представим числа в виде квадратных корней: $3 = \sqrt{9}$, $4 = \sqrt{16}$. Сравнивая подкоренные выражения, получаем порядок: $\sqrt{9} < \sqrt{15} < \sqrt{16} < \sqrt{16,5} < \sqrt{19}$.
    Ответ: $3 ; \sqrt{15} ; 4 ; \sqrt{16,5} ; \sqrt{19}$.

  2. Вычислите: $\sqrt{1 \frac{11}{25}}+\sqrt{0,04}-\sqrt{12^{2}+5^{2}} .$
    Решение: \[ \sqrt{1 \frac{11}{25}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} = 1,2; \quad \sqrt{0,04} = 0,2; \quad \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13 \] \[ 1,2 + 0,2 - 13 = -11,6 \] Ответ: $-11,6$.

  3. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=17$, $BC=25$, высота $BD=15$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
    Решение: \[ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = 8; \quad CD = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20 \] \[ AC = AD + CD = 28; \quad S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 15 = 210 \] Ответ: $210$.

  4. Упростите: $\left(3 a b^{3}\right)^{2} \cdot\left(-2 a^{2} b\right)^{3} .$
    Решение: \[ (3ab^3)^2 = 9a^2b^6; \quad (-2a^2b)^3 = -8a^6b^3 \] \[ 9a^2b^6 \cdot (-8a^6b^3) = -72a^8b^9 \] Ответ: $-72a^8b^9$.

  5. Для функции $y=-2 x^{2}-4 x+3$ укажите координаты вершины параболы и точки пересечения с осью ординат.
    Решение: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-2)} = -1; \quad y_0 = -2(-1)^2 -4(-1) + 3 = 5 \] Точка пересечения с осью ординат: $(0; 3)$.
    Ответ: $(-1; 5)$ и $(0; 3)$.

  6. Решите неравенство: $-3 x^{2}+4 x-1<0$.
    Решение: Корни уравнения $-3x^2 + 4x - 1 = 0$: \[ x_1 = 1; \quad x_2 = \frac{1}{3} \] Метод интервалов: решение $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (1; +\infty)$.
    Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (1; +\infty)$.

  7. В треугольниках $ABC$ и $XYZ$ известно, что $\angle A = \angle X$, $\angle C = \angle Z$, $\frac{AB}{XY} = \frac{2}{3}$, $AC = 10$. Найдите $XZ$.
    Решение: Треугольники подобны по двум углам. Коэффициент подобия $\frac{2}{3}$: \[ XZ = \frac{AC \cdot 3}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15 \] Ответ: $15$.

  8. Сократите дробь: $\frac{3a^2 + 2a - 1}{1 - a^2}$.
    Решение: \[ \frac{(3a - 1)(a + 1)}{(1 - a)(1 + a)} = \frac{3a - 1}{1 - a}, \quad a \neq -1 \] Ответ: $\frac{3a - 1}{1 - a}$, $a \neq -1$.

  9. Вкладчик положил в банк 10000 рублей под 3% годовых на 2 года. Сколько будет денег через два года?
    Решение: \[ 10000 \cdot 1,03^2 = 10609 \] Ответ: $10609$.

  10. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BK$. Прямая $MK \parallel BC$, $\angle BMK = 124^\circ$. Найдите $\angle MKB$.
    Решение: \[ \angle MBC = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ; \quad \angle MBK = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ \] Углы $\angle MKB$ и $\angle KBC$ равны как накрест лежащие.
    Ответ: $28^\circ$.

  11. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \frac{5 + x}{4} + \frac{1 - 2x}{6} \geq 1, \\ 3x - 4 > x \end{cases} \] Решение: \[ \frac{3(5 + x) + 2(1 - 2x)}{12} \geq 1 \Rightarrow 17 - x \geq 12 \Rightarrow x \leq 5 \] \[ 3x - 4 > x \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2 \] Ответ: $x \in (2; 5]$.

  12. Катер прошел 5 км по течению и 8 км по озеру за 1 час. Скорость течения 3 км/ч. Найдите скорость катера по течению.
    Решение: Пусть $x$ — собственная скорость катера: \[ \frac{5}{x + 3} + \frac{8}{x} = 1 \Rightarrow x^2 - 10x - 24 = 0 \Rightarrow x = 12 \] Скорость по течению: $12 + 3 = 15$ км/ч.
    Ответ: $15$ км/ч.

  13. В параллелограмме $ABCD$ $\angle ABC = 120^\circ$, $AM$ — биссектриса угла $BAD$, $BM = 6$, $MC = 8$. Найдите площадь параллелограмма.
    Решение: \[ BC = BM + MC = 14; \quad AB = BM = 6 \] Высота $BH = 3\sqrt{3}$ (из $\triangle ABH$). Площадь: \[ S = BH \cdot AD = 3\sqrt{3} \cdot 14 = 42\sqrt{3} \] Ответ: $42\sqrt{3}$.
Материалы школы Юайти