8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 8 в 9 класс 2016 год вариант 1-1

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Сложность:
Дата экзамена: 2016
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2016 год


Вариант 1



Часть В
К каждому заданию приведите только ответ

  1. Решите уравнение: $\frac{|x-3|-4}{\sqrt{4-x}+2}=0$.
  2. Упростите выражение и вычислить при $x=\frac{1}{2}$ : $\underset{\text { Ответ: }}{\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right) \cdot \sqrt{x^{2}-2 x+1} .}$
  3. В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятерки, третья - четверки, половина - тройки. Остальные работы оценины как неудовлетворительные. Сколько было неудовлетворительных работ?
  4. Около окружности описана равнобедренная трапеция, боковая сторона которой равна 5, а синус острого угла при основании равен $\frac{3}{5}$. Найдите площадь трапеции.
  5. При каких значениях $a$ графики функции $y=3 x+2$ и $y=2 x+a$ пересекаются на оси абсцисс.
  6. Решите неравенство: $\left(x^{2}-x-2\right)^{2}+\left(x^{2}-1\right)^{2} \leqslant 0$.
  7. Вычислите: $\frac{7^{n+1} \cdot 2^{3 n-4}}{56^{n-1}}$.
  8. Постройте график функции $y=x-\frac{x-2}{2-x}$.
  9. Четырехугольник $A B C D$ вписан в окружность. Угол $A B C$ равен $111^{\circ}$, угол $A D B$ равен $22^{\circ} .$ Найдите градусную меру угла $B A C .$
  10. Решите неравенство: $\frac{\sqrt{-x^{2}-10 x+11}}{x^{2}+x-12} \geqslant 0$.

    Часть C
    К заданиям приведите полное решение.
    С1. Решить уравнение: $\frac{2 x+7}{x^{2}+5 x-6}+\frac{3}{x^{2}+9 x+18}=\frac{1}{x+3}$.
    С2. Докажите, что число $234234234 \ldots 234$ ( группа цифр 234 повторяется 55 раз) делится на 18, но не делится на 36.
    С3. При каких значениях $p$ прямая $y=0,3 x+p$ образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 60 кв.ед?
    C4. В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $A F$ и $B H$.
    а) докажите, что треугольник $A B C$ подобен треугольнику $H F C$;
    б) найдите площадь треугольника $H F C$, если угол $A C B$ равен $30^{\circ}$, а площадь треугольника $A B C$ равна $8 \sqrt{3}$.



    Ответы к части В
    B1. $-7$. B2. $-1,5$. B3. 16. B4. 20. B5. $-5$. B6. $-2$. B7. $\frac{1}{3}$. B8. $y=-1+x, x \neq 1$. B9. 65 . B10. $(-5 ; 2] \cup\{-9\}$.
    Ответы к части С
    C1. $0 .$ C3. $q=\pm 4 .$ C4. $S=5 \sqrt{2}$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: $\frac{|x-3|-4}{\sqrt{4-x}+2}=0$.
    Решение: Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решаем уравнение $|x - 3| - 4 = 0$:
    $|x - 3| = 4 \Rightarrow x - 3 = \pm4 \Rightarrow x = 7$ или $x = -1$.
    Проверяем знаменатель при найденных значениях:
    При $x = 7$: $\sqrt{4 - 7}$ не существует.
    При $x = -1$: $\sqrt{4 - (-1)} + 2 = \sqrt{5} + 2 \neq 0$.
    Ответ: $-1$.
  2. Упростите выражение и вычислите при $x=\frac{1}{2}$: $\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right) \cdot \sqrt{x^{2}-2 x+1}$.
    Решение: Упростим выражение:
    $\sqrt{x^{2} - 2x + 1} = |x - 1| = 1 - x$ (при $x = \frac{1}{2}$).
    Сумма дробей:
    $\frac{(\sqrt{x} - 1)^2 + (\sqrt{x} + 1)^2}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{2x + 2}{x - 1}$.
    Умножаем на $1 - x$:
    $\frac{2x + 2}{x - 1} \cdot (1 - x) = - (2x + 2)$.
    Подставляем $x = \frac{1}{2}$:
    $- (2 \cdot \frac{1}{2} + 2) = -3$.
    Ответ: $-3$.
  3. В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятерки, третья — четверки, половина — тройки. Остальные работы оценены как неудовлетворительные. Сколько было неудовлетворительных работ?
    Решение: Общее число учеников $N$ кратно НОК(7, 3, 2) = 42. При $N = 42$:
    Пятерки: $\frac{42}{7} = 6$, четверки: $\frac{42}{3} = 14$, тройки: $\frac{42}{2} = 21$.
    Неудовлетворительные: $42 - (6 + 14 + 21) = 1$.
    Ответ: $1$.
  4. Около окружности описана равнобедренная трапеция, боковая сторона которой равна 5, а синус острого угла при основании равен $\frac{3}{5}$. Найдите площадь трапеции.
    Решение: Сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a + b = 10$.
    Высота трапеции: $h = 5 \cdot \frac{3}{5} = 3$.
    Площадь: $\frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{10}{2} \cdot 3 = 15$.
    Ответ: $15$.
  5. При каких значениях $a$ графики функции $y=3x+2$ и $y=2x+a$ пересекаются на оси абсцисс.
    Решение: Точка пересечения на оси $Ox$: $y = 0$.
    Для $y = 3x + 2$: $x = -\frac{2}{3}$.
    Для $y = 2x + a$: $x = -\frac{a}{2}$.
    Условие пересечения: $-\frac{2}{3} = -\frac{a}{2} \Rightarrow a = \frac{4}{3}$.
    Ответ: $\frac{4}{3}$.
  6. Решите неравенство: $\left(x^{2}-x-2\right)^{2}+\left(x^{2}-1\right)^{2} \leqslant 0$.
    Решение: Сумма квадратов равна нулю только при одновременном выполнении:
    $x^{2} - x - 2 = 0$ и $x^{2} - 1 = 0$.
    Решения: $x = -1$.
    Ответ: $-1$.
  7. Вычислите: $\frac{7^{n+1} \cdot 2^{3n-4}}{56^{n-1}}$.
    Решение: Упростим выражение:
    $56^{n-1} = 7^{n-1} \cdot 8^{n-1} = 7^{n-1} \cdot 2^{3(n-1)}$.
    $\frac{7^{n+1} \cdot 2^{3n-4}}{7^{n-1} \cdot 2^{3n-3}} = 7^{2} \cdot 2^{-1} = \frac{49}{2}$.
    Ответ: $\frac{49}{2}$.
  8. Постройте график функции $y=x-\frac{x-2}{2-x}$.
    Решение: Упростим выражение:
    $\frac{x - 2}{2 - x} = -1$ при $x \neq 2$.
    Тогда $y = x - (-1) = x + 1$ при $x \neq 2$.
    Ответ: $y = x + 1$, $x \neq 2$.
  9. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $111^{\circ}$, угол $ADB$ равен $22^{\circ}$. Найдите градусную меру угла $BAC$.
    Решение: Угол $ADB = 22^{\circ}$ опирается на дугу $AB$, значит дуга $AB = 44^{\circ}$.
    Угол $ABC = 111^{\circ}$ опирается на дугу $ADC = 222^{\circ}$.
    Дуга $BC = 360^{\circ} - 44^{\circ} - 222^{\circ} = 94^{\circ}$.
    Угол $BAC$ опирается на дугу $BC$: $\frac{94^{\circ}}{2} = 47^{\circ}$.
    Ответ: $47^{\circ}$.
  10. Решите неравенство: $\frac{\sqrt{-x^{2}-10x+11}}{x^{2}+x-12} \geqslant 0$.
    Решение: Область определения:
    $-x^{2} - 10x + 11 \geq 0 \Rightarrow x \in [-11; 1]$.
    Знаменатель $x^{2} + x - 12 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4, 3$.
    Неравенство выполняется при $x^{2} + x - 12 > 0$ и $x \in [-11; 1]$.
    Ответ: $[-11; -4)$.
  11. [C1.] Решить уравнение: $\frac{2x+7}{x^{2}+5x-6}+\frac{3}{x^{2}+9x+18}=\frac{1}{x+3}$.
    Решение: Разложим знаменатели:
    $x^{2} + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$, $x^{2} + 9x + 18 = (x + 6)(x + 3)$.
    Умножим обе части на $(x + 6)(x - 1)(x + 3)$:
    $(2x + 7)(x + 3) + 3(x - 1) = (x + 6)(x - 1)$.
    Раскроем и упростим:
    $x^{2} + 11x + 24 = 0 \Rightarrow x = -8$.
    Ответ: $-8$.
  12. [C2.] Докажите, что число $234234234\ldots234$ (группа цифр 234 повторяется 55 раз) делится на 18, но не делится на 36.
    Решение: Число делится на 2 (последняя цифра 4) и на 9 (сумма цифр $55 \cdot 9 = 495$). На 36 не делится, так как последние две цифры 34 не делятся на 4.
  13. [C3.] При каких значениях $p$ прямая $y=0,3x+p$ образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 60 кв.ед?
    Решение: Точки пересечения с осями: $x = -\frac{p}{0,3}$, $y = p$.
    Площадь: $\frac{1}{2} \cdot \left|\frac{p}{0,3}\right| \cdot |p| = 60 \Rightarrow p^{2} = 36 \Rightarrow p = \pm6$.
    Ответ: $\pm6$.
  14. [C4.] В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AF$ и $BH$.
    а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $HFC$.
    б) Найдите площадь треугольника $HFC$, если угол $ACB$ равен $30^{\circ}$, а площадь треугольника $ABC$ равна $8\sqrt{3}$.
    Решение:
    а) Углы $HFC$ и $ABC$ равны как соответственные при пересечении высот. Треугольники подобны по двум углам.
    б) Коэффициент подобия $k = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
    Площадь $HFC = 8\sqrt{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = 6\sqrt{3}$.
    Ответ: $6\sqrt{3}$.
Материалы школы Юайти