СУНЦ УРФУ им. Ельцина №10 (Урал) из 8 в 9 класс 2015 год вариант 2-1

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)

2015 год

Вариант 2

Часть А
В заданиях A1–A10 записать ответ в указанном месте. Если получается несколько вариантов, нужно указать их все. Калькулятором, литературой, шпаргалкой и т.п. пользоваться нельзя

1. Вычислите: $(8 \sqrt{12}+4 \sqrt{75}): 3 \sqrt{3}$. Ответ:
2. Упростите выражение: $a(a-4)-(a-2)^{2}$. Ответ:
3. Из формулы $y=\frac{a x}{3}$ выразите $x$. Ответ:
4. В треугольнике $A B C$ угол $A=70^{\circ}$, угол $C=20^{\circ} .$ Найти угол между высотой $B H$ и биссектрисой $B D$. Ответ:
5. Выполните деление дробей $\frac{6 x+6 y}{x}: \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}} .$ Ответ:
6. Решите систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}3 x-4 y=8, \\ 4 x+2 y=7 .\end{array}\right.$ Ответ:
7. Решите неравенство: $3 x+1 \geqslant 2(x-1)+6 x$. Ответ:
8. Не решая уравнение, определите сколько оно имеет корней. Соотнесите уравнение с ответами.
   1) $2 x^{2}+3 x+5=0$.
   2) $x^{2}-7 x+8=0$.
   3) $4 x^{2}+4 x+1=0$.
   А) Два корня.
   Б) Один корень.
   В) Нет действительных корней.
   Ответ:
   

   $\mathrm{A}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{B}$

9. Расстояние между пристанями катер проходит по течению реки за 2 часа, а против течения реки за 3 часа. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки $5 \mathrm{Km} /$ ч?
10. По графику квадратичной функции найдите, при каких значениях $x$ значения функции отрицательны.
    

Решения задач

1. Вычислите: $(8 \sqrt{12}+4 \sqrt{75}): 3 \sqrt{3}$.
   Решение:
   $8\sqrt{12} = 8 \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$,
   $4\sqrt{75} = 4 \cdot 5\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$,
   $(16\sqrt{3} + 20\sqrt{3}) : 3\sqrt{3} = 36\sqrt{3} : 3\sqrt{3} = 12$.
   Ответ: 12.
2. Упростите выражение: $a(a-4)-(a-2)^{2}$.
   Решение:
   $a(a-4) - (a^2 -4a +4) = a^2 -4a -a^2 +4a -4 = -4$.
   Ответ: $-4$.
3. Из формулы $y=\frac{a x}{3}$ выразите $x$.
   Решение:
   $y = \frac{a x}{3} \quad \Big| \cdot 3$,
   $3y = a x \quad \Big| : a$,
   $x = \frac{3y}{a}$.
   Ответ: $x = \frac{3y}{a}$.
4. В треугольнике $ABC$ угол $A=70^{\circ}$, угол $C=20^{\circ}$. Найти угол между высотой $BH$ и биссектрисой $BD$.
   Решение:
   $\angle B = 180^{\circ} -70^{\circ} -20^{\circ} =90^{\circ}$,
   $\angle ABD = 45^{\circ}$ (биссектриса прямого угла),
   $\angle ABH = 90^{\circ} -70^{\circ} =20^{\circ}$,
   $\angle DBH =45^{\circ} -20^{\circ} =25^{\circ}$.
   Ответ: $25^{\circ}$.
5. Выполните деление дробей $\frac{6 x+6 y}{x}: \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}}$.
   Решение:
   $\frac{6(x+y)}{x} \cdot \frac{x^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{6x}{x-y}$.
   Ответ: $\frac{6x}{x-y}$.
6. Решите систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}3 x-4 y=8, \\ 4 x+2 y=7 .\end{array}\right.$
   Решение:
   Умножаем второе уравнение на 2:
   $\left\{\begin{array}{l}3x -4y =8, \\ 8x +4y =14 \end{array}\right.$,
   Складываем уравнения:
   $11x =22 \Rightarrow x=2$,
   Подставляем $x=2$ в первое уравнение:
   $6 -4y =8 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}$.
   Ответ: $(2; -\frac{1}{2})$.
7. Решите неравенство: $3 x+1 \geqslant 2(x-1)+6 x$.
   Решение:
   $3x +1 \geq 2x -2 +6x$,
   $3x +1 \geq8x -2$,
   $-5x \geq -3$,
   $x \leq \frac{3}{5}$.
   Ответ: $x \leq \frac{3}{5}$.
8. Определите количество корней уравнений:
   1) $2 x^{2}+3 x+5=0$,
   2) $x^{2}-7 x+8=0$,
   3) $4 x^{2}+4 x+1=0$.
   Решение:
   1) $D=9 -40 =-31 <0$ — нет корней (В),
   2) $D=49 -32=17 >0$ — два корня (А),
   3) $D=16 -16=0$ — один корень (Б).
   Ответ:

   А	Б	В
   2	3	1

9. Скорость катера в стоячей воде.
   Решение:
   Пусть $x$ км/ч — скорость катера,
   $(x+5) \cdot 2 = (x-5) \cdot 3$,
   $2x +10 =3x -15$,
   $x=25$.
   Ответ: 25 км/ч.
10. По графику квадратичной функции найдите, при каких значениях $x$ значения функции отрицательны.
    Решение:
    График пересекает ось $x$ в точках $-1$ и $3$, ветви направлены вверх.
    Ответ: $x \in (-1; 3)$.
11. Найдите сумму корней уравнения: $16 x^{2}-4=0$.
    Решение:
    $16x^2 =4$,
    $x^2 =\frac{1}{4}$,
    $x_1 =\frac{1}{2}$, $x_2 =-\frac{1}{2}$,
    Сумма корней: $\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) =0$.
    Ответ: 0.
12. Найдите значение выражения $(4 x-1)^{2}-(4 x+1)^{2}$ при $x=\frac{1}{16}$.
    Решение:
    $(4x-1)^2 - (4x+1)^2 = (16x^2 -8x +1) - (16x^2 +8x +1) =-16x$,
    При $x=\frac{1}{16}$: $-16 \cdot \frac{1}{16} =-1$.
    Ответ: $-1$.
13. Найдите первоначальную цену книги.
    Решение:
    Пусть $x$ руб. — первоначальная цена,
    $0,9x =45,9$,
    $x =\frac{45,9}{0,9} =51$.
    Ответ: 51 руб.
14. Найдите площадь ромба.
    Решение:
    Высота ромба $h=2 \cdot 6=12$,
    Сторона ромба $BC=13$,
    Площадь: $13 \cdot 12=156$.
    Ответ: 156.
15. Найдите абсциссу вершины параболы.
    Решение:
    Подставляем точку $D(1;2)$ в уравнение:
    $2 =a -3 +3 \Rightarrow a=2$,
    Абсцисса вершины: $x_0 = \frac{3}{4}$.
    Ответ: $\frac{3}{4}$.