СУНЦ НГУ(ФМШ) из 8 в 9 класс

1. Решить уравнение \(2x^2 + 6x - 5 = 0\).
2. Решить уравнение \(x - 4\sqrt{x} - 5 = 0\).
3. Решить уравнение \(x^4 + 2x^3 + x^2 - 13(x+1)^2 = 0\).
4. Вычислить \[ \biggl(\frac{6}{\sqrt6 + 2} - \frac{4}{3 - \sqrt{11}}\biggr) \cdot \bigl(3\sqrt6 - 2\sqrt{11}\bigr). \]
5. Решить неравенство \(\displaystyle \frac{1}{x - 2} > \frac{1}{x - 3}\).
6. Решить неравенство \((5 - x)^2 \ge \lvert 41 - 10x\rvert\).
7. Первую половину пути турист проехал на велосипеде со скоростью 16 км/ч, а после поломки велосипеда вторую половину пути прошёл со скоростью 4 км/ч. Найти среднюю скорость туриста на всем пути.
8. Два куска латуни имеют общую массу 50 кг. Первый кусок содержит 2 кг чистой меди, а второй — 3 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит меди на 25 % больше первого?
9. На столе стоит самовар. Вода в самоваре кипит непрерывно и выкипает равномерно. Компания пьёт чай одинаковыми порциями: 7 человек могут выпить весь кипяток из самовара в течение 6 часов, а 22 человека — в течение 2 часов. Сколько человек опорожнят самовар за \(\frac{10}{3}\) часа?
10. Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами длины 5 и 12.
11. Река на равнине течёт по прямой. На одном и том же берегу реки расположены поле в 200 метрах от берега и деревня на расстоянии 800 метров от берега. Расстояние от поля до деревни равно 1500 метров. Закончив работу в поле, фермер желает искупаться в реке и вернуться в деревню. Какое наименьшее число метров ему надо пройти, если к берегу можно подойти в любой точке?
12. Кот Матроскин, пес Шарик и дядя Фёдор решили подоить корову Мурку в Простоквашино. Кот Матроскин может подоить Мурку за 8 минут, пес Шарик может подоить эту же корову за 24 минуты, а дядя Фёдор — за 12 минут. За сколько минут они подойдут Мурку вместе?

Решения задач

1. Решить уравнение \(2x^2 + 6x - 5 = 0\).
   Решение: Найдём дискриминант: \[ D = 36 + 40 = 76. \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{76}}{4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{19}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{19}}{2}. \] Ответ: \(x = \frac{-3 + \sqrt{19}}{2}\) и \(x = \frac{-3 - \sqrt{19}}{2}\).
2. Решить уравнение \(x - 4\sqrt{x} - 5 = 0\).
   Решение: Сделаем замену \(t = \sqrt{x}\), тогда: \[ t^2 - 4t - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{4 \pm 6}{2}. \] Откуда \(t = 5\) (так как \(t \ge 0\)). Следовательно: \[ x = 5^2 = 25. \] Ответ: 25.
3. Решить уравнение \(x^4 + 2x^3 + x^2 - 13(x+1)^2 = 0\).
   Решение: Заметим, что \(x^4 + 2x^3 + x^2 = (x^2 + x)^2\). Тогда уравнение примет вид: \[ (x^2 + x)^2 - 13(x+1)^2 = 0. \] Выносим общий множитель: \[ (x+1)^2(x^2 - 13) = 0. \] Решения: \[ x = -1, \quad x = \sqrt{13}, \quad x = -\sqrt{13}. \] Ответ: \(x = -1\), \(x = \sqrt{13}\), \(x = -\sqrt{13}\).
4. Вычислить \[ \biggl(\frac{6}{\sqrt6 + 2} - \frac{4}{3 - \sqrt{11}}\biggr) \cdot \bigl(3\sqrt6 - 2\sqrt{11}\bigr). \]
   Решение: Рационализируем знаменатели: \[ \frac{6}{\sqrt6 + 2} = 3(\sqrt6 - 2), \quad \frac{4}{3 - \sqrt{11}} = -2(3 + \sqrt{11}). \] Тогда выражение в скобках: \[ 3\sqrt6 - 6 + 6 + 2\sqrt{11} = 3\sqrt6 + 2\sqrt{11}. \] Умножаем на \(3\sqrt6 - 2\sqrt{11}\): \[ (3\sqrt6)^2 - (2\sqrt{11})^2 = 54 - 44 = 10. \] Ответ: 10.
5. Решить неравенство \(\displaystyle \frac{1}{x - 2} > \frac{1}{x - 3}\).
   Решение: \[ \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 3} > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{-1}{(x - 2)(x - 3)} > 0. \] Решение неравенства: \[ (x - 2)(x - 3) < 0 \quad \Rightarrow \quad 2 < x < 3. \] Ответ: \(x \in (2; 3)\).
6. Решить неравенство \((5 - x)^2 \ge \lvert 41 - 10x\rvert\).
   Решение: Рассмотрим случаи:
   • \(\mathbf{41 - 10x \ge 0}\) (т.е. \(x \le 4.1\)):
     \((5 - x)^2 \ge 41 - 10x \quad \Rightarrow \quad x^2 - 16 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \le -4\) или \(x \ge 4\).
     С учётом \(x \le 4.1\): \(x \le -4\) или \(4 \le x \le 4.1\).
   • \(\mathbf{41 - 10x 4.1\)):
     \((5 - x)^2 \ge 10x - 41 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 20x + 66 \ge 0\).
     Корни \(x = 10 \pm \sqrt{34}\). Решение: \(x \ge 10 + \sqrt{34}\).
   Итоговый ответ: \[ x \in (-\infty; -4] \cup [4; 4.1] \cup [10 + \sqrt{34}; +\infty). \]
7. Первую половину пути турист проехал на велосипеде со скоростью 16 км/ч, а после поломки вторую половину пути прошёл со скоростью 4 км/ч. Найти среднюю скорость.
   Решение: Формула средней скорости: \[ v_{\text{ср}} = \frac{2 \cdot 16 \cdot 4}{16 + 4} = \frac{128}{20} = 6.4 \, \text{км/ч}. \] Ответ: 6,4 км/ч.
8. Два куска латуни имеют общую массу 50 кг. Первый кусок содержит 2 кг меди, второй — 3 кг. Второй кусок содержит меди на 25% больше первого. Найти процент меди в первом куске.
   Решение: Пусть \(x\)% — концентрация меди в первом куске. Тогда во втором \(1.25x\%\). Составим систему: \[ \frac{200}{x} + \frac{240}{x} = 50 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{440}{50} = 8.8\%. \] Ответ: 8,8%.
9. Семеро пьют кипяток за 6 часов, 22 человека — за 2 часа. Сколько человек выпьют за \(\frac{10}{3}\) часа?
   Решение: Пусть \(S\) — объём самовара. Система: \[ \begin{cases} 6S + 42P = S, \\ 2S + 44P = S. \end{cases} \] Решив, находим \(P = 0.5S\). Для времени \(\frac{10}{3}\) часа: \[ \frac{10}{3}(S + 20k) = S \quad \Rightarrow \quad k = 13. \] Ответ: 13 человек.
10. Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12.
    Решение: Радиус: \[ r = \frac{5 + 12 - 13}{2} = 2. \] Ответ: 2.
11. Найти наименьший путь от поля до деревни с купанием в реке.
    Решение: Отражение деревни через реку. Минимальное расстояние: \[ \sqrt{1500^2 + (200 + 800)^2} = \sqrt{2 \ 890 \ 000} = 1700 \, \text{м}. \] Ответ: 1700 метров.
12. Кот, пёс и дядя Фёдор подоют корову за:
    Решение: Совместная производительность: \[ \frac{1}{8} + \frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \, \text{в минуту}. \] Время: 4 минуты. Ответ: 4 минуты.