СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2016 год вариант 2

1. Катя старше Оли в \(6/5\) раза, Оля моложе Иры в 1,5 раза. Сумма возрастов девочек равна 37. Найдите возраст Иры.
2. При каких значениях \(b\) расстояние между двумя различными точками, в которых парабола \[ y = x^2 + b x + 1 \] пересекает ось \(Ox\), не превосходит 7?
3. Найдите количество натуральных чисел, не превосходящих 315, которые кратны 3 и не кратны 7.
4. Два поезда отправились навстречу друг другу из пунктов \(A\) и \(B\) в 12:30. В 15:30 они прибыли на одну и ту же станцию, сделали остановку и, простояв одинаковое время, продолжили путь. Сколько времени длилась остановка, если первый поезд прибыл в пункт \(B\) в 18:30, а второй прибыл в пункт \(A\) в 21:00? Каждый поезд двигался с постоянной скоростью.
5. Вокруг треугольника, стороны которого относятся как \(5:12:13\), описана окружность радиуса 26. Найдите площадь этого треугольника.

Решения задач

1. Катя старше Оли в \(\frac{6}{5}\) раза, Оля моложе Иры в 1,5 раза. Сумма возрастов девочек равна 37. Найдите возраст Иры.
   Решение: Пусть возраст Оли равен \(x\) лет. Тогда возраст Кати \(\frac{6}{5}x\), возраст Иры \(1,5x\). Составим уравнение: \[ x + \frac{6}{5}x + 1,5x = 37 \] Приведем к общему знаменателю: \[ 3,7x = 37 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \text{ лет (Оля)} \] Возраст Иры: \(1,5 \cdot 10 = 15\) лет.
   Ответ: 15 лет.
   
   
2. При каких значениях \(b\) расстояние между двумя различными точками, в которых парабола \(y = x^2 + b x + 1\) пересекает ось \(Ox\), не превосходит 7?
   Решение: Расстояние между корнями квадратного уравнения \(x^2 + bx + 1 = 0\): \[ |x_1 - x_2| = \sqrt{D} = \sqrt{b^2 - 4} \] Условие действительности корней: \(b^2 \geq 4\). Решаем неравенство: \[ \sqrt{b^2 - 4} \leq 7 \quad \Rightarrow \quad b^2 \leq 53 \quad \Rightarrow \quad |b| \leq \sqrt{53} \] С учетом условия действительности корней: \[ b \in [-\sqrt{53}; -2] \cup [2; \sqrt{53}] \] Ответ: \(b \in [-\sqrt{53}; -2] \cup [2; \sqrt{53}]\).
   
   
3. Найдите количество натуральных чисел, не превосходящих 315, которые кратны 3 и не кратны 7.
   Решение:
   • Количество чисел, кратных 3: \(\left\lfloor \frac{315}{3} \right\rfloor = 105\)
   • Количество чисел, кратных 21: \(\left\lfloor \frac{315}{21} \right\rfloor = 15\)
   • Искомое количество: \(105 - 15 = 90\)
   Ответ: 90.
   
   
4. Два поезда отправились навстречу друг другу из пунктов \(A\) и \(B\) в 12:30. В 15:30 они прибыли на одну станцию. Первый поезд прибыл в \(B\) в 18:30, второй в \(A\) в 21:00. Сколько времени длилась остановка?
   Решение:
   • Время движения до встречи: 3 часа
   • Время движения после встречи: первый поезд — 3 часа, второй — 5,5 часов
   • Пусть время остановки \(t\). Составляем пропорцию скоростей: \[ \frac{3 - t}{5,5 - t} = \frac{5,5 - t}{3 - t} \quad \Rightarrow \quad t = 1,5 \text{ часа} \]
   Ответ: 1,5 часа.
   
   
5. Вокруг треугольника со сторонами \(5:12:13\) описана окружность радиуса 26. Найдите площадь треугольника.
   Решение:
   • Треугольник прямоугольный (\(5^2 + 12^2 = 13^2\))
   • Гипотенуза: \(2R = 2 \cdot 26 = 52 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{52}{13} = 4\)
   • Катеты: \(5 \cdot 4 = 20\), \(12 \cdot 4 = 48\)
   • Площадь: \(\frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 48 = 480\)
   Ответ: 480.