СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2015 год вариант 2

1. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 5,\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 7. \end{cases} \]
2. Поезд выехал из пункта \(A\) в \(8{:}00\) и, если бы ехал всю дорогу с постоянной скоростью \(v\), то прибыл бы в пункт \(B\) в \(12{:}00\). Но поезд ехал первую половину пути со скоростью на \(25\%\) меньше \(v\), а вторую половину пути — со скоростью на \(25\%\) больше \(v\). Определите время прибытия поезда в пункт \(B\).
3. В прямоугольном треугольнике \(KLM\) из вершины \(L\) прямого угла опущена высота \(LH\) на гипотенузу \(KM\). Длина стороны \(LK\) равна \(\sqrt{5}\), длина высоты \(LH\) равна \(2\). Найти площадь треугольника \(KLM\).
4. Вычислить значение выражения \[ \sqrt{x^2 + 24x + 144} \;+\; \sqrt{x^2 - 16x + 64}, \quad\text{если }x = 0{,}102. \]
5. Сравнить числа: \[ 36^{27}\quad\text{и}\quad 27^{36}. \]

Решения задач

1. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 5,\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 7. \end{cases} \] Решение: Сложим уравнения системы:
   $2\cdot\dfrac{1}{x} = 12 \Rightarrow \dfrac{1}{x} = 6 \Rightarrow x = \dfrac{1}{6}$
   Вычтем уравнения системы:
   $2\cdot\dfrac{1}{y} = 2 \Rightarrow \dfrac{1}{y} = 1 \Rightarrow y = 1$
   Проверка:
   $\dfrac{1}{\frac{1}{6}} - 1 = 6 - 1 = 5$
   $\dfrac{1}{\frac{1}{6}} + 1 = 6 + 1 = 7$
   Ответ: \((x; y) = \left(\dfrac{1}{6}; 1\right)\).
   
   
2. Поезд выехал из пункта \(A\) в \(8{:}00\) и, если бы ехал с постоянной скоростью \(v\), то прибыл бы в \(12{:}00\). Определите время прибытия при изменении скорости.
   Решение: Плановое время в пути — 4 часа. Расстояние \(S = 4v\).
   Реальный путь:
   Первая половина пути: \(\dfrac{2v}{0.75v} = \dfrac{8}{3}\) часа \(= 2\) часа \(40\) минут.
   Вторая половина пути: \(\dfrac{2v}{1.25v} = 1.6\) часа \(= 1\) час \(36\) минут.
   Общее время: \(2\) ч \(40\) мин \(+\) \(1\) ч \(36\) мин \(= 4\) ч \(16\) мин.
   Время прибытия: \(8{:}00 + 4{:}16 = 12{:}16\).
   Ответ: \(12{:}16\).
   
   
3. Найти площадь прямоугольного треугольника \(KLM\) с высотой \(LH = 2\) и катетом \(LK = \sqrt{5}\).
   Решение: Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике:
   \(LH^2 = KH \cdot HM\)
   Пусть \(KH = h\), тогда \(HM = S_{KLM}^2/(h \cdot LK) = \dfrac{S^2}{(S \cdot \sqrt{5}/2)}\) (через площади). Значительно удобнее использовать формулу площади:
   \(S_{KLM} = \dfrac{1}{2} \cdot LK \cdot LM\)
   Также из формулы высоты:
   \(2 = \dfrac{LK \cdot LM}{KM}\)
   По теореме Пифагора:
   \(KM^2 = LK^2 + LM^2 = (\sqrt{5})^2 + LM^2 = 5 + LM^2\)
   Решая систему уравнений, находим \(LM = 2\sqrt{5}\)
   Тогда площадь:
   \(S = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 5\)
   Ответ: 5.
   
   
4. Вычислить значение выражения \[ \sqrt{x^2 + 24x + 144} \;+\; \sqrt{x^2 - 16x + 64} = \sqrt{(x + 12)^2} + \sqrt{(x - 8)^2} \]
   При \(x = 0{,}102\):
   \(|0{,}102 + 12| + |0{,}102 - 8| = 12{,}102 + 7{,}898 = 20\)
   Ответ: 20.
   
   
5. Сравнить числа \(36^{27}\) и \(27^{36}\):
   Решение: Прологарифмируем оба числа:
   \(\ln{36^{27}} = 27\ln{36}\), \(\ln{27^{36}} = 36\ln{27}\)
   Сравним выражения:
   \(\dfrac{27}{36} \ln{36} = \dfrac{3}{4}\ln{1296}\)
   \(\ln{27} = \ln{3^3} = 3\ln{3}\)
   \(\dfrac{3}{4}\ln{1296} \approx 3.927\), \(3\ln{3} \approx 3.296\)
   Отсюда \(36^{27} < 27^{36}\)
   Ответ: \(36^{27} < 27^{36}\).