СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2015 год вариант 1

1. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 5,\\ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 3. \end{cases} \]
2. Автобус выехал из пункта \(A\) в \(12{:}00\) и, если бы ехал всю дорогу с постоянной скоростью \(v\), то прибыл бы в пункт \(B\) в \(14{:}00\). Но автобус проехал первую половину пути со скоростью, на \(20\%\) больше \(v\), а вторую половину пути — со скоростью на \(20\%\) меньше \(v\). Определите время прибытия автобуса в пункт \(B\).
3. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) из вершины \(B\) прямого угла опущена высота \(BD\) на гипотенузу \(AC\). Длина стороны \(AB\) равна \(2\sqrt{5}\), длина высоты \(BD\) равна \(2\). Найти площадь треугольника \(ABC\).
4. Вычислить значение выражения \[ \sqrt{x^2 - 22x + 121} \;+\; \sqrt{x^2 + 14x + 49}, \quad\text{если }x = 0{,}201. \]
5. Сравнить числа: \[ 33^{44}\quad\text{и}\quad 44^{33}. \]

Решения задач

1. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 5,\\ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 3. \end{cases} \] Решение: Cложим уравнения:
   $\frac{2}{x} = 8 \implies \frac{1}{x} = 4 \implies x = \frac{1}{4}$
   Вычтем второе уравнение из первого:
   \begin{equation*} \frac{2}{y} = 2 \implies \frac{1}{y} = 1 \implies y = 1 \end{equation*}
   Ответ: $\left(\frac{1}{4}; 1\right)$.
2. Автобус выехал из пункта \(A\) в \(12{:}00\) и, если бы ехал с постоянной скоростью \(v\), то прибыл бы в \(14{:}00\). Определите время прибытия при изменённых скоростях.
   Решение: Обычное время пути — 2 часа. Пусть расстояние равно \(2v\).
   Первая половина пути (\(v\) км) пройдена на \(1{,}2v\) км/ч:
   $t_1 = \frac{v}{1{,}2v} = \frac{5}{6}$ часа = 50 минут
   Вторая половина пути — на \(0{,}8v\) км/ч:
   $t_2 = \frac{v}{0{,}8v} = \frac{5}{4}$ часа = 1 час 15 минут
   Общее время: \[ t_1 + t_2 = \frac{5}{6} + \frac{5}{4} = \frac{25}{12} \text{ ч} = 2 \text{ ч }5 \text{ мин} \]
   Время прибытия: \(12{:}00 + 2{:}05 = 14{:}05\).
   Ответ: 14:05.
3. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с высотой \(BD = 2\) и стороной \(AB = 2\sqrt{5}\) найти площадь.
   Решение: Площадь треугольника через высоту к гипотенузе:
   $S = \frac{AC \cdot BD}{2}$
   Используем свойство высоты: $BD = \frac{AB \cdot BC}{AC}$
   Обозначим \(BC = a\): \[ 2 = \frac{2\sqrt{5} \cdot a}{\sqrt{(2\sqrt{5})^2 + a^2}} \implies 4 = \frac{20a^2}{20 + a^2} \implies 16a^2 = 80 \implies a^2 = 5 \implies a = \sqrt{5} \]
   Площадь: \[ S = \frac{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{2} = 5 \]
   Ответ: 5.
4. Вычислить значение выражения: \[ \sqrt{x^2 - 22x + 121} + \sqrt{x^2 + 14x + 49} \quad \text{при } x = 0{,}201 \] Решение: Заметим, что выражения под корнями — полные квадраты:
   $\sqrt{(x - 11)^2} + \sqrt{(x + 7)^2} = |x - 11| + |x + 7|$
   При \(x = 0{,}201\):
   \(11 - 0{,}201 + 0{,}201 + 7 = 18\)
   Ответ: 18.
5. Сравнить числа: \[ 33^{44}\quad\text{и}\quad 44^{33} \] Решение: Приведем к общей степени НОК(44,33) = 132:
   \(33^{44} = (33^4)^{11} = 1\,185\,921^{11}\)
   \(44^{33} = (44^3)^{11} = 85\,184^{11}\)
   Так как \(33^4 = 1\,185\,921 > 44^3 = 85\,184\), то:
   \(33^{44} > 44^{33}\)
   Альтернативный способ: сравнение логарифмов:
   \(44\ln33 ≈ 44 \cdot 3{,}4965 ≈ 153{,}8\)
   \(33\ln44 ≈ 33 \cdot 3{,}7842 ≈ 124{,}9\)
   
   Ответ: \(33^{44} > 44^{33}\).