СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2017 год вариант 2

1. Сумма цифр двузначного числа равна 8, а сумма квадратов его цифр равна 34. Найдите все такие числа.
2. Свежие фрукты содержат 80% воды. Сколько процентов воды должны содержать сушёные фрукты, если их масса должна составлять 45% от массы свежих? Результат округлите до целого числа.
3. Сумма первых 50 членов арифметической прогрессии \(S_{50} = 50\), сумма первых 100 членов \(S_{100} = 10\). Найдите сумму первых 150 членов этой прогрессии.
4. Две окружности с центрами в точках \(A\) и \(B\) радиуса 2 и 4 соответственно касаются внешним образом, и в точке касания к ним проведена общая касательная. На общей касательной взята точка \(C\) на расстоянии \(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) от середины отрезка \(AB\). Найти площадь треугольника \(ABC\).
5. Решите неравенство \[ \bigl(1 - (2b + 3)^{-2}\bigr)\;\colon\;\frac{b + 1}{2b + 3}\;-\;\frac{1}{2b^2 + 7b + 6}\;\le\;-2. \]

1. \(35\) и \(53\)
2. \(56\%\)
3. \(-120\)
4. \(\displaystyle \frac{15}{\sqrt{2}}\)
5. \(\bigl[-\tfrac{9}{4};\,-2\bigr)\)

Решения задач

1. Сумма цифр двузначного числа равна 8, а сумма квадратов его цифр равна 34. Найдите все такие числа.
   Решение: Пусть цифры числа $\overline{xy}$ равны $x$ (десятки) и $y$ (единицы). Составляем систему уравнений:
   $x + y = 8$
   $x^2 + y^2 = 34$
   Выразим $y = 8 - x$ и подставим:
   $x^2 + (8 - x)^2 = 34$
   $2x^2 - 16x + 64 = 34$
   $x^2 - 8x + 15 = 0$
   $x_1 = 3, x_2 = 5$. Соответственно:
   $\overline{xy} = 35$ и $\overline{xy} = 53$
   Ответ: 35, 53.
2. Свежие фрукты содержат 80% воды. Сколько процентов воды должны содержать сушёные фрукты, если их масса должна составлять 45% от массы свежих?
   Решение: Масса сухого вещества в свежих фруктах: $100\ 80% = 20\%$
   При сушке сухое вещество остается: $20% \rightarrow 45\%$ массы свежих → $\frac{20}{45} \approx 44.\overline{4}\%$ новой массы.
   Содержание воды: $100\ 44.\overline{4}% = 55.(5)% \approx 56\%$
   Ответ: 56\%.
3. Сумма первых 50 членов арифметической прогрессии $S_{50} = 50$, сумма первых 100 членов $S_{100} = 10$. Найдите сумму первых 150 членов этой прогрессии.
   Решение: Формула суммы:
   $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
   Для n = 50: $\frac{2a_1 + 49d}{2} \cdot 50 = 50 → 2a_1 + 49d = 2$ (1)
   Для n = 100: $\frac{2a_1 + 99d}{2} \cdot 100 = 10 → 2a_1 + 99d = 0.2$ (2)
   Вычитаем (1)-(2): $-50d = 1.8 → d = -0.036$
   Из (1): $a_1 = \frac{2 - 49 \cdot (-0.036)}{2} ≈ 1.91$
   Для n = 150: $S_{150} = \frac{2 \cdot 1.91 + 149 \cdot (-0.036)}{2} \cdot 150 ≈ -30$
   Ответ: -30.
4. Найти площадь треугольника $ABC$ с данными условиями.
   Решение: Центры окружностей на расстоянии AB = 6. Координаты центров A(0,0), B(6,0). Общая касательная в точке касания перпендикулярна линии центров. Координата C: расстояние от середины AB (3,0) равно $\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$. Возможные координаты C(3 + x, ±k). Используя подобие треугольников:
   $\triangle ABC$ прямоугольный, площадь $= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{3\sqrt{6}}{2} = \frac{9\sqrt{6}}{2}$
   Ответ: $\frac{9\sqrt{6}}{2}$.
5. Решить неравенство: \[ \bigl(1 - (2b + 3)^{-2}\bigr)\;\colon\;\frac{b + 1}{2b + 3}\;-\;\frac{1}{2b^2 + 7b + 6}\;\le\;-2. \]
   Решение: Преобразуем левую часть:
   $\frac{(2b+3)^2 - 1}{(2b+3)^2} \cdot \frac{2b+3}{b+1} - \frac{1}{(2b+3)(b+2)} ≤ -2$
   Упрощаем:
   $\frac{(2b+4)(2b+2)(2b+3)}{(2b+3)^2(b+1)} - \frac{1}{(2b+3)(b+2)} ≤ -2$
   После сокращений и приведения к общему знаменателю получим:
   $4(b+1)(b+2) - (2b+3) + 2(2b+3)(b+1)(b+2) ≤ 0$
   Решая квадратное уравнение:
   $b ∈ (-1.5, -1) ∪ (-1, -0.5)$
   Учитывая ОДЗ: ответ $b ∈ (-1.5, -1.25)$
   Ответ: $b ∈ \left(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{4}\right)$.