СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2016 год вариант 2

1. Кусок сплава никеля и хрома массой 36 кг содержит 45% никеля. Сколько чистого никеля следует добавить к нему, чтобы получить сплав, содержащий 60% никеля?
2. Иван купил 19 карандашей и 4 ластика за 77 рублей. Сколько суммарно стоят 2 ластика и 1 карандаш, если известно, что каждый из предметов стоит целое число рублей?
3. Решите уравнение \[ \sqrt{x} = 3x - 4. \]
4. Дана равнобокая трапеция \(KLMN\) с основаниями \(KN = 12\) и \(LM = 8\). Известно, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом. Найдите площадь трапеции.
5. Про числа \(u\) и \(v\) известно, что \[ 4 \le u + v < 9 \quad\text{и}\quad 1 < v \le 5. \] Найдите все \(u\), для которых это возможно.

Решения задач

1. Кусок сплава никеля и хрома массой 36 кг содержит 45% никеля. Сколько чистого никеля следует добавить к нему, чтобы получить сплав, содержащий 60% никеля?
   Решение: Масса никеля в исходном сплаве:
   $36 \cdot 0,45 = 16,2$ кг.
   Пусть добавили $x$ кг никеля. Тогда масса нового сплава $36 + x$ кг, а никеля в нём $16,2 + x$ кг. Составим уравнение:
   $\frac{16,2 + x}{36 + x} = 0,6$
   $16,2 + x = 0,6(36 + x)$
   $16,2 + x = 21,6 + 0,6x$
   $0,4x = 5,4$
   $x = \frac{5,4}{0,4} = 13,5$ кг.
   Ответ: 13,5 кг.
2. Иван купил 19 карандашей и 4 ластика за 77 рублей. Сколько суммарно стоят 2 ластика и 1 карандаш, если известно, что каждый из предметов стоит целое число рублей?
   Решение: Пусть карандаш стоит $k$ руб., ластик — $l$ руб. Тогда:
   $19k + 4l = 77$
   Перебираем целые значения $k$:
   При $k = 3$: $19 \cdot 3 = 57$, тогда $4l = 77 - 57 = 20$, $l = 5$.
   Проверка: $19 \cdot 3 + 4 \cdot 5 = 57 + 20 = 77$ — верно.
   Стоимость 2 ластиков и 1 карандаша: $2 \cdot 5 + 3 = 13$ руб.
   Ответ: 13 рублей.
3. Решите уравнение \[ \sqrt{x} = 3x - 4. \] Решение: Возведём обе части в квадрат:
   $x = (3x - 4)^2$
   $x = 9x^2 - 24x + 16$
   $9x^2 - 25x + 16 = 0$
   Дискриминант: $D = 625 - 576 = 49$
   Корни: $x = \frac{25 \pm 7}{18} \Rightarrow x_1 = \frac{32}{18} = \frac{16}{9}$, $x_2 = 1$
   Проверка:
   $x = 1$: $\sqrt{1} = 1$, $3 \cdot 1 - 4 = -1$ — неверно.
   $x = \frac{16}{9}$: $\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$, $3 \cdot \frac{16}{9} - 4 = \frac{16}{3} - \frac{12}{3} = \frac{4}{3}$ — верно.
   Ответ: $\frac{16}{9}$.
4. Дана равнобокая трапеция \(KLMN\) с основаниями \(KN = 12\) и \(LM = 8\). Известно, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом. Найдите площадь трапеции.
   Решение: При пересечении боковых сторон под прямым углом высота трапеции равна среднему геометрическому оснований:
   $h = \sqrt{KN \cdot LM} = \sqrt{12 \cdot 8} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$
   Площадь трапеции:
   $S = \frac{KN + LM}{2} \cdot h = \frac{12 + 8}{2} \cdot 4\sqrt{6} = 10 \cdot 4\sqrt{6} = 40\sqrt{6}$
   Ответ: $40\sqrt{6}$.
5. Про числа \(u\) и \(v\) известно, что \[ 4 \le u + v < 9 \quad\text{и}\quad 1 < v \le 5. \] Найдите все \(u\), для которых это возможно.
   Решение: Выразим $u$ через $v$:
   $4 - v \le u < 9 - v$
   Учитывая ограничения для $v$:
   При $v \in (1; 5]$:
   Минимальное значение $u$: $4 - 5 = -1$
   Максимальное значение $u$: $9 - 1 = 8$
   Объединяя все возможные значения:
   $-1 < u < 8$
   Ответ: $-1 < u < 8$.