СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2016 год вариант 1

1. Кусок сплава олова с медью весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистой меди надо добавить к нему, чтобы получить сплав, содержащий 50% меди?
2. Никита купил 17 карандашей и 3 ластика за 70 рублей. Сколько суммарно стоят 1 ластик и 2 карандаша, если известно, что каждый из предметов стоит целое число рублей?
3. Решите уравнение \[ \sqrt{x} = 3 - 4x. \]
4. Дана равнобокая трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD = 10\) и \(BC = 6\). Известно, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом. Найдите площадь трапеции.
5. Про числа \(b\) и \(c\) известно, что \[ 2 \le b + c < 7 \quad\text{и}\quad 3 < c \le 5. \] Найдите все \(b\), для которых это возможно.

Решения задач

1. Кусок сплава олова с медью весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистой меди надо добавить к нему, чтобы получить сплав, содержащий 50% меди?
   Решение: В исходном сплаве содержится $12 \cdot 0,45 = 5,4$ кг меди. Пусть добавили $x$ кг меди. Тогда масса нового сплава $(12 + x)$ кг, а масса меди $(5,4 + x)$ кг. Составим уравнение: \[ \frac{5,4 + x}{12 + x} = 0,5 \] Решаем уравнение: \[ 5,4 + x = 6 + 0,5x \quad \Rightarrow \quad 0,5x = 0,6 \quad \Rightarrow \quad x = 1,2 \] Ответ: 1,2 кг.
2. Никита купил 17 карандашей и 3 ластика за 70 рублей. Сколько суммарно стоят 1 ластик и 2 карандаша, если известно, что каждый из предметов стоит целое число рублей?
   Решение: Пусть карандаш стоит $k$ руб., ластик — $l$ руб. Тогда: \[ 17k + 3l = 70 \] Перебираем целые значения $l$ от 1 до 17. При $l = 12$: \[ 17k = 70 - 3 \cdot 12 = 34 \quad \Rightarrow \quad k = 2 \] Проверка: $17 \cdot 2 + 3 \cdot 12 = 34 + 36 = 70$. Сумма 1 ластика и 2 карандашей: \[ 12 + 2 \cdot 2 = 16 \] Ответ: 16 рублей.
3. Решите уравнение \[ \sqrt{x} = 3 - 4x \] Решение: Возведём обе части в квадрат: \[ x = (3 - 4x)^2 \quad \Rightarrow \quad x = 9 - 24x + 16x^2 \quad \Rightarrow \quad 16x^2 - 25x + 9 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 625 - 576 = 49 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{25 \pm 7}{32} \] Корни: $x = 1$ и $x = \frac{9}{16}$. Проверка: \[ \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} = 3 - 4 \cdot \frac{9}{16} = 3 - \frac{9}{4} = \frac{3}{4} \] Ответ: $\frac{9}{16}$.
4. Дана равнобокая трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD = 10\) и \(BC = 6\). Известно, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом. Найдите площадь трапеции.
   Решение: Продолжения боковых сторон пересекаются в точке \(E\), образуя прямоугольный треугольник \(EAD\). Треугольники \(EAD\) и \(EBC\) подобны с коэффициентом \(\frac{10}{6} = \frac{5}{3}\). Пусть высота трапеции \(h\), тогда: \[ \frac{h + x}{x} = \frac{5}{3} \quad \Rightarrow \quad 3h = 2x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3h}{2} \] Из прямоугольного треугольника \(EBC\): \[ EB = 6 \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3} \] Площадь трапеции: \[ S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{10 + 6}{2} \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \] Ответ: \(24\sqrt{3}\).
5. Про числа \(b\) и \(c\) известно, что \[ 2 \le b + c < 7 \quad\text{и}\quad 3 < c \le 5. \] Найдите все \(b\), для которых это возможно.
   Решение: Из условия \(3 < c \le 5\) выразим \(b\): \[ 2 - c \le b < 7 - c \] Подставляя границы \(c\):
   • При \(c \to 3^+\): \(2 - 3 \le b < 7 - 3 \quad \Rightarrow \quad -1 \le b < 4\)
   • При \(c = 5\): \(2 - 5 \le b < 7 - 5 \quad \Rightarrow \quad -3 \le b < 2\)
   Объединяя интервалы: \[ -3 \le b < 4 \] Ответ: \(b \in [-3; 4)\).