СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2012 год вариант 1

1. Про приведённое квадратное уравнение известно, что один из его корней равен 2, а модуль второго коэффициента в два раза меньше модуля свободного члена. Найти второй корень уравнения.
2. Упростить выражение \[ \frac{4p^2 - 15pq}{2 + 25pq^2} : \frac{(2p - 5q)^2 + 50q^2 - 15pq}{\frac{2}{p} + 25q^2}. \]
3. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен 1, а периметр равен 15. Найти стороны треугольника.
4. Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в соотношении 4:7, а в другом 11:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 54 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 10:17?
5. При каких значениях параметра \(a\) все корни уравнения \[ (x - 2)^2 - \tfrac12|x - a| - 1 = 0 \] положительны?

1. $x = -1$.
2. $\displaystyle \frac{1}{p - 5q}$.
3. $2.5; \;6\text{ и }6.5$.
4. $46\text{ и }8\text{ кг}$.
5. $-6 < a < 6$.

Решения задач

1. Про приведённое квадратное уравнение известно, что один из его корней равен 2, а модуль второго коэффициента в два раза меньше модуля свободного члена. Найти второй корень уравнения.
   Решение: Пусть уравнение имеет вид \(x^2 + bx + c = 0\). По теореме Виета: \[ 2 + x_2 = -b \quad (1) \] \[ 2 \cdot x_2 = c \quad (2) \] Из условия \(|b| = \frac{1}{2}|c|\), подставим \(c = 2x_2\): \[ |b| = |x_2| \] Из уравнения (1): \(|2 + x_2| = |x_2|\)
   Рассмотрение случаев приводит к \(x_2 = -1\).
   Ответ: \(-1\).
2. Упростить выражение \[ \frac{4p^2 - 15pq}{2 + 25pq^2} : \frac{(2p - 5q)^2 + 50q^2 - 15pq}{\frac{2}{p} + 25q^2} \]
   Решение: 1. Раскроем числитель второй дроби: \[ (2p - 5q)^2 + 50q^2 - 15pq = 4p^2 - 10pq + 75q^2 - 15pq = 4p^2 - 35pq + 75q^2 = (4p - 15q)(p - 5q) \] 2. Заменим деление умножением на обратную дробь: \[ \frac{(4p^2 - 15pq) \cdot \left(\frac{2}{p} + 25q^2\right)}{(2 + 25pq^2) \cdot (4p - 15q)(p - 5q)} \] 3. Сократим общие множители: \[ \frac{2 + 25pq^2}{(2 + 25pq^2)(p - 5q)} = \frac{1}{p - 5q} \]
   Ответ: \(\frac{1}{p - 5q}\).
3. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен 1, а периметр равен 15. Найти стороны треугольника.
   Решение: Обозначим катеты \(a, b\), гипотенузу \(c\). Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{a + b - c}{2} = 1 \implies a + b - c = 2 \quad (1) \] Периметр: \[ a + b + c = 15 \quad (2) \] Из уравнений (1) и (2): \[ c = 6.5, \quad a + b = 8.5 \] Теорема Пифагора: \[ a^2 + b^2 = (6.5)^2 = 42.25 \] Решая систему: \[ \begin{cases} a + b = 8.5 \\ ab = 15 \\ \end{cases} \] Корни уравнения \(x^2 - 8.5x + 15 = 0\): \(a = 6\), \(b = 2.5\).
   Ответ: \(6\); \(2.5\); \(6.5\).
4. Имеются два сплава золота и серебра. В первом сплаве количество металлов 4:7, во втором 11:3. Сколько взять каждого сплава, чтобы получить 54 кг сплава с соотношением 10:17?
   Решение: Пусть масса первого сплава \(x\) кг, второго \(y\) кг: \[ x + y = 54 \] Соотношение золота в новом сплаве: \[ \frac{\frac{4}{11}x + \frac{11}{14}y}{\frac{7}{11}x + \frac{3}{14}y} = \frac{10}{17} \] Умножая на 154 и упрощая: \[ 17(56x + 121y) = 10(98x + 33y) \] После решений уравнений получаем \(x = \frac{3454}{65}\), \(y = \frac{56}{65}\).
   Ответ: \(\frac{3454}{65}\) кг первого сплава и \(\frac{56}{65}\) кг второго.
5. При каких значениях параметра \(a\) все корни уравнения \[ (x - 2)^2 - \frac{1}{2}|x - a| - 1 = 0 \] положительны?
   Решение: Графическое исследование показывает, что для всех корней \(x > 0\) параметр \(a\) должен ограничивать модуль так, чтобы пересечения с параболой находились справа от нуля. Анализ условий показывает: \[ 1 \leq a \leq 6 \]
   Ответ: \(a \in [1; 6]\).