СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2013 год вариант 2

1. Решите неравенство \[ \frac{x}{x - 1} > 1. \]
2. Сколько нулями оканчивается число \(22!\)?
3. Найти все действительные числа \(x, y\), для которых справедливо равенство \[ 4x^2 + 4x + 9y^2 - 6y + 2 = 0. \]
4. Через сколько минут после того, как часы показывали ровно 16 часов 00 минут, минутная стрелка догонит часовую стрелку?
5. В правильном треугольнике \(KLM\) со стороной \(24\) на стороне \(LM\) как на диаметре построена полукружность, не имеющая общих точек с треугольником \(KLM\), кроме точек \(L\) и \(M\). Она разделена точками \(K_1\) и \(K_2\) на три равные дуги \(LK_1 = K_1K_2 = K_2M\). Найти длины отрезков, на которые делят сторону \(LM\) прямые \(KK_1\) и \(KK_2\).

1. \(x > 1.\)
2. \(4.\)
3. \(x = -\tfrac12,\; y = \tfrac13.\)
4. \(21\tfrac{9}{11}\) минут.
5. \(8;\;8;\;8.\)

Решения задач

1. Решите неравенство \[ \frac{x}{x - 1} > 1. \]
   Решение: Перенесем 1 в левую часть и преобразуем:
   $\frac{x}{x - 1} - 1 > 0$
   $\frac{x - (x - 1)}{x - 1} > 0$
   $\frac{1}{x - 1} > 0$
   Знаменатель положителен при $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$.
   Ответ: $x \in (1; +\infty)$.
   
   
2. Сколько нулей оканчивает число \(22!\).
   Решение: Количество нулей определяется общим числом множителей 10 в разложении факториала. Так как 10 = 2 ⋅ 5, считаем минимальное из степеней чисел 2 и 5. Количество пятерок в 22! равно:
   $\left\lfloor\frac{22}{5}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{22}{25}\right\rfloor = 4 + 0 = 4$.
   Ответ: 4.
   
   
3. Найти все действительные числа \(x, y\), для которых справедливо равенство \[ 4x^2 + 4x + 9y^2 - 6y + 2 = 0. \]
   Решение: Выделим полные квадраты:
   $4x^2 + 4x = 4\left(x^2 + x + \frac{1}{4}\right) - 1 = 4\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - 1$;
   $9y^2 - 6y = 9\left(y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}\right) - 1 = 9\left(y - \frac{1}{3}\right)^2 - 1$.
   Подставив в исходное уравнение:
   $4\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 9\left(y - \frac{1}{3}\right)^2 - 1 - 1 + 2 = 0$,
   $4\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 9\left(y - \frac{1}{3}\right)^2 = 0$.
   Сумма квадратов равна нулю только при $x = -\frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{3}$.
   Ответ: $x = -\frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{3}$.
   
   
4. Через сколько минут после того, как часы показывали ровно 16 часов 00 минут, минутная стрелка догонит часовую стрелку?
   Решение: Скорость минутной стрелки — $6^\circ$/мин, часовой — $0,5^\circ$/мин. В момент 16:00 угол между стрелками $120^\circ$.
   Уравнение движения: $6t = 0,5t + 120^\circ$.
   $5,5t = 120^\circ$, $t = \frac{120}{5,5} = \frac{240}{11} = 21\frac{9}{11}$ минут.
   Ответ: через $21\frac{9}{11}$ минут.
   
   
5. В правильном треугольнике \(KLM\) со стороной 24 на стороне \(LM\) как на диаметре построена полукружность, разделенная точками \(K_1\) и \(K_2\) на три равные дуги. Найти длины отрезков, на которые делят сторону \(LM\) прямые \(KK_1\) и \(KK_2\).
   Решение: Полуокружность на диаметре $LM$ радиусом 12. Точки $K_1$ и $K_2$ делят её на три дуги по $60^\circ$. Координаты точек:
   $L(0, 0)$, $M(24, 0)$, $K(12, 12\sqrt{3})$,
   $K_1(18, -6\sqrt{3})$, $K_2(6, -6\sqrt{3})$.
   Уравнения прямых:
   $KK_1$: $y - 12\sqrt{3} = -3\sqrt{3}(x - 12)$. При $y = 0$: $x = 16$.
   $KK_2$: $y - 12\sqrt{3} = 3\sqrt{3}(x - 12)$. При $y = 0$: $x = 8$.
   Сторона $LM$ делится на части: $0 \rightarrow 8 \rightarrow 16 \rightarrow 24$.
   Ответ: отрезки длиной $8$, $8$ и $8$.