СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2013 год вариант 1

1. Решить неравенство \[ \frac{x}{x+1} > 1. \]
2. Сколькими нулями оканчивается число \[ 20! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times 18 \times 19 \times 20 \;? \]
3. Найти все действительные числа \(x, y\), для которых справедливо равенство \[ 9x^2 + 6x + 4y^2 - 4y + 2 = 0. \]
4. Через сколько минут после того, как часы показывали ровно 9 часов 00 минут, минутная стрелка догонит часовую стрелку?
5. В правильном треугольнике \(ABC\) со стороной \(12\) на стороне \(BC\) как на диаметре построена полуокружность, не имеющая общих точек с треугольником \(ABC\), кроме точек \(B\) и \(C\). Она разделена точками \(A_1\) и \(A_2\) на три равные дуги \(BA_1 = A_1A_2 = A_2C\).
   Найти длины отрезков, на которые делят сторону \(BC\) прямые \(AA_1\) и \(AA_2\).

1. \(x < -1.\)
2. \(4\).
3. \(x = -\tfrac{1}{3},\; y = \tfrac{1}{2}.\)
4. \(\tfrac{540}{11} = 49\tfrac{1}{11}\) минут.
5. \(4;4;4\).
   
   

Решения задач

1. Решить неравенство $\frac{x}{x+1} > 1$.
   Решение: $\frac{x}{x+1} - 1 > 0 \implies \frac{x - (x+1)}{x+1} > 0 \implies \frac{-1}{x+1} > 0$.
   Дробь положительна, когда знаменатель отрицателен: $x + 1 < 0 \implies x < -1$. С учётом ОДЗ ($x \neq -1$): $x \in (-\infty; -1)$.
   Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.
   
   
2. Сколькими нулями оканчивается число $20! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 20$?
   Решение: Количество нулей равно количеству пар множителей $(2, 5)$ в разложении факториала. Коэффициент при 5 меньше, поэтому считаем количество пятерок: $$\begin{aligned} \left\lfloor \frac{20}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{20}{25} \right\rfloor &= 4 + 0 = 4. \end{aligned}$$ Ответ: 4.$\newline$
3. Найти все действительные числа $x, y$, для которых $9x^2 + 6x + 4y^2 - 4y + 2 = 0$. $\newline$ Решение: Выделяем полные квадраты: $$\begin{aligned} 9x^2 + 6x &= 9\left(x^2 + \frac{2}{3}x\right) = 9\left(\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{9}\right), \\ 4y^2 - 4y &= 4\left(y^2 - y\right) = 4\left(\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right). \end{aligned}$$ Подставляем в уравнение: $$\begin{aligned} 9\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 - 1 + 4\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - 1 + 2 &= 0 \implies 9\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 + 4\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = 0. \end{aligned}$$ Сумма квадратов равна нулю только при $x = -\frac{1}{3}$, $y = \frac{1}{2}$. $\newline$ Ответ: $x = -\frac{1}{3}$, $y = \frac{1}{2}$.$\newline$
4. Через сколько минут после 9:00 минутная стрелка догонит часовую? $\newline$ Решение: Пусть время до встречи $t$ минут. Угол часовой стрелки: $270 + 0.5t$ градусов. Угол минутной: $6t$. $$\begin{aligned} 6t &= 270 + 0.5t \implies 5.5t = 270 \implies t = \frac{270}{5.5} = \frac{540}{11} \text{ минут}. \end{aligned}$$ Ответ: $\frac{540}{11}$ минут.$\newline$
5. В правильном треугольнике $ABC$ со стороной $12$ на $BC$ как на диаметре построена полуокружность вне треугольника. Она разделена точками $A_1$ и $A_2$ на три равные дуги. Найти длины отрезков, на которые делят сторону $BC$ прямые $AA_1$ и $AA_2$. $\newline$ Решение: Полуокружность разделена на дуги по $60^\circ$. Координаты точек: $$\begin{aligned} A_1(9, -3\sqrt{3}), \quad A_2(3, -3\sqrt{3}), \quad A(6, 6\sqrt{3}). \end{aligned}$$ Проводим прямые:
   • Прямая $AA_1$: пересечение с $BC$ ($y = 0$) в точке $x = 8$.
   • Прямая $AA_2$: пересечение с $BC$ ($y = 0$) в точке $x = 4$.
   Отрезки стороны $BC$:
   • Прямая $AA_1$ делит $BC$ на $8$ см и $4$ см (от $B$ до $8$ и от $8$ до $C$).
   • Прямая $AA_2$ делит $BC$ на $4$ см и $8$ см (от $B$ до $4$ и от $4$ до $C$).
   Ответ: Для $AA_1$ — $\boxed{8\text{ см}}$ и $\boxed{4\text{ см}}$; для $AA_2$ — $\boxed{4\text{ см}}$ и $\boxed{8\text{ см}}$.